雅歌私塾的部落格

透過修正建構概念--山泉班數學課    明芳 11/3/2010

一上課，孫老師給孩子看一個磅秤。
「這是什麼？」「磅秤。」
「上面有什麼？」「數線。」
「什麼是數線？」「上面有一條線，線上有數字。」

老師請所有的孩子到前面觀察磅秤，要他們指出：
數線在哪裡？上面最小的數字是多少？最大的數字是多少？孩子們找到：最小的是0，最大的是2000。老師說：這條數線是一條曲線，老師要把它拉直。

孫老師在白板上畫出一條數線，問孩子0要標在哪裡？孩子們說：前面。他接著在線的中間標出1000，線的尾端標出2000。畫完之後請孩子上來，在數線上用箭頭標出一些她指定的數字。柔褘標出200，珈嘉標出500，家蓁標出700，佳婕想要標出1100，她在1100的位置畫了箭頭，可能不知道如何寫1100，先寫了1000100，想了想後改成10100，定軒標上1400，欣儒標上1800。

接著孫老師帶孩子們進行確認，當檢視數線上1100的時候，孩子們發現佳婕錯了。老師說：老師還沒教過你們千以上，這個挑戰超過你們的程度。孫老師換個方式來教佳婕，她在白板上畫下教具串珠的圖樣：立方體代表1000，正方形代表100，10個小珠珠一條線代表10，以及一個小珠珠代表1，讓孩子試著寫出耳朵聽到的數量。

家蓁根據圖形依序寫下1800，定軒挑戰9900，柔褘挑戰3300，而佳婕也輕鬆地寫下4200。我看到老師提供一項工具讓孩子們釐清個、十、百、千的概念，讓佳婕有機會被修正，相信他會更記得怎樣才對。

上次學習單孩子探索數線上的分數與小數，老師其實不是要教孩子分數或小數，只是要孩子們透過操作對單位更深入瞭解。這次，為了讓孩子更透徹的從數線建立分數與小數的概念，老師用分數卡在白板上建構一條數線。她將一張張不同等分、正方形的透明片排成一列，沿著底部畫出一條數線，並於每張間隔處標示0、1、2、3、4。之後，她在每一張分數卡下面定一個箭頭，讓孩子去標出數線上的分數。

首先上台挑戰的是柔褘，她分別標出1/4、1又1/5、2又1/3、3又1/2。柔褘寫完之後，老師請欣儒上台來驗證。欣儒先數每一片有幾等分，這是上次學習單的步驟。欣儒把答案與柔禕的分母驗證，再把箭頭指的範圍有幾等分與柔禕的分子驗證，驗證無誤後加以打勾。

孫老師重新改變分數卡的順序，繼續請三位孩子分工完成挑戰及驗證。珈嘉將白板上的數線標示出0、1、2、3、4，定軒在數線上將指定的位置上標上數字，佳婕進行驗證。第三回的挑戰中，定軒將2又3/4寫成了2又4/3，當柔褘驗證的過程中，孫老師提示「等分成幾片？5片，所以分母是?這部分有幾片？分子是?」定軒發現自己所寫的分數顛倒了，趕緊加以修正。

當孩子發生錯誤時，我們需要讓孩子有機會檢視及發現自己的錯誤而加以修正，如果急著糾正或給答案，孩子就不易透過自我修正去建構他的理解。

挪亞方舟    徐僑伶12/16/2009

「數學是一種語言，我們用它與宇宙進行精確的對話。」

對於孩子來說，他們會使用自己熟悉的語言來說話，他們會畫畫，他們看得懂數字，但是他們卻不知道如何運用這些技能來處理資訊。在一個有趣且簡單的故事中，孩子能夠發現什麼？當引導者能夠用清楚的邏輯思考來引導學生時，學生還可能掌握不到學習的重點與方向嗎？

今天孫老師設計了一個有趣的課程，目的是要孩子學會怎麼抓重點，怎麼學會整理手邊有的資訊。首先，老師給學生們一個情境：一個關於彩虹的故事-挪亞方舟，然後要孩子用數學的語言記下這個故事的順序和重要資訊，而在這個過程中，孩子們第一件學到的事情就是「觀察」與「發現」。

老師像個說書的引導者，根據情境而提出了有關連的7個資訊，在這7個資訊裡要孩子去觀察「時間」、「空間」與「人間」分別藏在哪個資訊裡，當他們能夠分辨出這三大類，就表示孩子已經能夠掌握情境中的基本架構。

接著讓孩子各自認養這7個 資訊，從這過程裡，老師可以觀察到學生的學習傾向與偏好。而學生呢，則可以根據自己所選的資訊，去思考如何用數學的語言來呈現：有些人可能會利用到數線， 有些則是運用比例尺，也有用簡單的樹狀圖搭配圖片…。高年級的學生可以帶著低年級學生進行討論，低年級學生可以跟著高年級的學長姐一起釐清資訊的邏輯與思 維，這不僅能夠根據不同年齡層的所學與能力來學習，還能夠讓孩子們在有樂趣的過程中，充分操作到處理資訓的6種技巧：觀察、分類、推論、溝通、測量、運用數字或符號。

學習與研究的技巧其實不難，只是孩子還沒養成這樣的習慣，也還不懂得如何運用與呈現。在雅歌，老師總是能夠不厭其煩的、不怕等待的將這些技巧藏在各種課程中，讓孩子們一步一步的踏上高手的腳步。在這裡，我們的學習就是這麼好玩！

＊學生根據老師所給訊息，利用數學的語言，發揮創意結合所學的數學技巧，畫出自己所設計的方舟。

＊從學習者看來，這些挑戰有趣，從教學者角度來說，卻是蘊涵深度的。

百宮格進位       湘如   9/20/2010

今天的數學課，是百宮格進位的總結。一上課，孫老師請孩子們拿出Folder，說要給分數、算薪水，山泉班的孩子年紀小，但效率很高，大家很快的拿出資料夾，找到了學習單。大家一起看百宮格(往上下左右)的學習單，核對自己的答案。因為先前並未跟著孩子上數學課，所以不了解在這堂課之前，孩子做了哪些學習，但我清楚這範圍是超過一般低年級的課程的。

    在檢視完學習單後，老師在白板上的圍棋百宮格上，不按順序擺上黑棋或白棋，孩子一眼看穿棋盤上的棋子代表著百宮格上的第幾個。孩子們跟著老師作了以下練習：

4.5.7看出任意點、

5往下數2是25、

81往上數2是61、

10往下數4是50、

50往下數3是80、

23往下數33.43.53.63.73.83.93.每往下一格與原本差多少、

23往右數7是30……。過程中，老師會幫往下數、往上數、往左數、往右數的動作，配上音效，讓孩子有所準備，可以數在心裡，更容易找到答案，使孩子在數學課中，結合音樂智能，得到明朗化經驗。

而且，老師在計分時，除了答對的人加分外，其餘只要也看出答案的孩子都可以加分，和一般老師使用計分的情形有較大差異。如此一來，每個人都時時刻刻保持專注，老師也可以清楚知道每個人是否理解。

    老師帶著孩子計算計分板結果，老師一共問了九題(佳婕回答兩題，其他人都回答一題)，答對者得到黑棋一枚，其餘的人只要認同答案就可以得到一個勾；黑棋代表一角0.1，打勾代表一分0.01。老師帶著孩子數完了欣儒與定軒的分數(0.18，一個黑棋、八個勾)，數了佳婕的兩顆黑棋是0.2，接著老師問了孩子一個邏輯問題：｢欣儒和定軒都是0.18，佳婕會是0.28嗎？｣正當我心想，這問題也太難了吧！珈嘉就舉手回答：｢不會。｣觀察敏銳的她發現佳婕的黑棋多一個，所以勾會少一個，也就是說佳婕應該是0.27，其他人也贊同這個說法，他們也都發現了。

之後，老師帶孩子凝聚整張學習單的重點：在百宮格中往上數、往下數、往右數、往左數分別代表的意義是 -10、+10、+1、-1。

    最後的活動是數百宮格，一年級的孩子從1數到100，二年級的孩子從0.01數到1.00，同樣是百宮格，同樣學進位，同樣的概念，但孩子們數的東西有難易差別，二年級的孩子可以當榜樣，一年級的孩子可以有向榜樣學習的機會。其實，我就看見了一年級的孩子嘴巴裡嘀嘀咕咕的跟著二年級的孩子念呢！

數學思維-你是怎麼知道的?　　9/29 明芳

　　上課了，為了讓孩子能專注，孫老師和AB組孩子玩了一個小遊戲，孩子的眼光必須老師移動到哪眼神就要跟隨到哪，因此孫老師移動自己在教室的位置來確認孩子們的目光有追隨著她。

接著，進行數學課。「我要問一個問題，想發言的人要舉手，這裡有幾個棋子？」佳婕回答：「5個。」老師拿掉2個黑棋，要孩子給個式子。柔褘回答：「5-2=3」。

孫老師在白板上畫了一些圈圈代表貼紙，又問孩子：「這裡有幾張貼紙？」佳婕回答：「7張。」老師請佳婕到白板進行要如何減掉3張貼紙，佳婕拿起白板筆從後面的圈圈開始打了三個叉叉。

孫老師再畫紅色的圈圈並隨後又問有幾張紅色的貼紙？定軒回答：「12張」。孫老師追問：「你怎麼知道?」定軒回答：「在老師畫的時候邊數」，珈嘉也回應：「一排就是10」。孫老師繼續出題，並說我要減掉8，此時白板上有15個圈圈，定軒舉手要回答，孫老師：「從哪一個開始減起，給我數學思維，你是怎麼得到的？」定軒回答：「15-8=7」孫老師：「把式子寫出來。」這時家蓁卻提出7＋8=15的想法，而孫老師立即發覺孩子此時的反應是合成的概念，但我們其實在進行的是減法的概念，因此，立即進行釐清概念。

老師在白板上用藍色的筆畫出7個圈圈，再用綠色的筆畫出8個圈圈，緊接著問孩子藍色貼紙有幾張？孩子回答：「7張」，綠色貼紙有幾張？「8張」，那總共有幾張？「15張」，那這三個的關係是什麼？孫老師請佳婕把他們變成一個式子，佳婕寫下7+8=15，孫老師又問這是加法還是減法？孩子回答：「加法」。「一個顏色後面打叉是加法還是減法？」孩子們回答：「減法」。

但此時的家蓁仍舊抱持著7＋8=15的想法，孫老師再用藍筆畫了15個圈圈後面打了7個叉叉,並問她有幾個藍色，被劃掉幾個？請她用數學式子來回答。家蓁：「15-7=8」。

為了讓孩子們更清楚是加法或減法的概念，老師又畫了7個圈圈再打2個叉叉，並請孩子提出數學思維。孩子回答：「7-2=5」。孫老師解釋「數學思維」就是告訴別人「我是怎麼知道的」。　

孫老師繼續出題，題目是關於減法。在白板上劃一列為10的圈圈再往下畫3個圈圈，即表示總數是13，再從後往前劃掉6個叉叉，又請定軒上台寫下算式，並說出「一眼看穿」的技能。其意指一列圈圈即為10的量數，透過這樣的技巧孩子是可以快速的算出總數量。我們也看到定軒寫下「13-6=7」。

接著，孫老師透過不同的題目，讓孩子運用「一眼看穿」的技能。如：一眼看穿就是幾個棋子？珈嘉回應是15個，怎麼來的呢？一排10個黑棋子，第二排2個黑棋，即有12個黑棋子再加上3個白色的棋子，即「12+3=15」。又問一眼看穿這是多少？育筠回答：「8。」孫老師再追問：「8是怎麼來的？你怎麼知道？一行有多少？」孩子回答：「10。」「少了多少？」「2個。」「給我數學思維」老師請育筠站起來說：「10-2=8。」

「再來一題，一眼看穿。」柔禕回答：「7。」孫老師說：「請給我數學思維。」「10-3=7。」這樣的重複性練習讓孩子能夠一眼看穿；不斷地提問數學思維，讓孩子學會用數學語言來說明自己如何想的。

用數學活動串起數學課       湘如  10/6/2010

不同於以往，計分表由老師決定加法還是減法，今天一上課，老師就問孩子們今天的記分板要加分還是減分。因為每個人意見不同，最後結果有人用加法、有人用減法。老師就說大家一起來做實驗，看看哪一種方式比較好。我想老師是要讓我看看兩種不同記分板的效果：加法-雖然是從零開始，但只要表現好就會加分；減法-雖然可以從完美的滿分開始，但只要表現不好就會扣分。我發現對於自己不太有信心，或是文靜到害怕上臺表現的孩子，多半會選從滿分開始。我也發現兼容兩者的記分板，比較適宜。

處理完記分板，老師拿出兩塊大小相同、顏色不同的正方形板，兩種不同口味的蛋糕，A口味切成兩等份，B口味切成三等份，有三個人要一起買蛋糕，該買哪一種？佳婕說：｢買B，因為剛好切成三份。｣老師又問：｢可是他們想吃的口味是A，那該怎麼辦？｣這個問題問得真好，當我正在想他們會如何解決這個難題時，定軒提議：｢把兩等份的A，換個方向再切成三份，讓它變成六小塊，每個人拿兩塊。｣這是在之前玩重疊透明片而有的概念，沒想到還記得且能活用。其他人也贊同定軒的分法。

接著，老師讓學生繼續分蛋糕，且給了任務：平分。(情境：老師家有兩個孩子，所以要找可以剛好分給兩個人的蛋糕切法。)老師拿出不一樣等份切法的蛋糕，要大家一一檢查哪些可以分成兩份，些不行，並把兩者分類。過程中，學生就發現：單數、奇數份切法的不能買，因為無法平分；雙數、偶數份切法的可以買。有了此項釐清，老師隨口問了幾種分法(分成1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.100份的蛋糕)可否平分，發現孩子們對三位數是奇數還是偶數，較無法判別。老師便帶入｢天秤活動｣，每個人都是一座天秤，遇到不可平分的奇數，天秤就歪掉(一手高、一手低)；遇到可以平分的偶數，天秤就呈現水平(雙手平舉)。孩子玩得很開心，發現只要聽最後一位數是奇數還是偶數，就能分辨奇偶，老師也在過程中了解孩子學習的狀況。

接著老師加深難度，變成兩人的奇偶數。兩人站前後，一人聽見奇數雙手高舉，另一人聽見偶數雙手平舉，這兩個活動從
1.2.3.4.5.6……
71.72.73…
97.98.99.100…
970…到三位數、四位數、甚至百萬位數…孩子們對於奇偶數的分辨，不成問題。我發現：第一個活動有｢可否平分、平衡｣的意義，第二個活動則是｢奇數是怪咖odd、偶數可以平分｣。課堂中，可以結合所要學的，讓孩子起來動一動，透過身體來學習，效果有時更加顯著。

結束｢奇偶數活動｣，老師拿出分兩份的蛋糕卡，帶孩子拍出｢二的倍數—(基數拍)(偶數念) ：拍2拍4拍6拍8拍10……100｣；分三份的蛋糕卡，拍｢三的倍數：拍拍3拍拍6拍拍9拍拍12拍拍15拍拍18拍拍21拍拍24拍拍27……100｣。孩子開始有點掙扎，我自己拍的感覺是，邊拍還要邊數在心裡，不那麼容易。分四份的蛋糕卡，｢四的乘法，拍拍拍4拍拍拍8拍拍拍12拍拍拍16拍拍拍20拍拍拍24拍拍拍28拍拍拍32拍拍拍36……｣。這個活動結合數學和音樂智能，用拍子去學數學倍數，挺有趣的，不過要可以邊數邊念，我還得花一段時間去熟練。

老師讓孩子們去想想生活中會拿出來分的東西，或是可以分的東西，例如：剪刀、椅子……， 在這些可以平分的東西上，可以看見他們具有對稱關係，配上語文課所學，老師要山泉孩子在ㄅㄆㄇ裡找具有可以平分的｢對稱關係｣的注音符號。在孩子們把認為 可以平分的注音符號貼上白板後，老師教他們檢驗的技巧，就是｢照鏡子｣，只要可以把一面鏡子擺上去，不論橫豎，照出來的東西和原本一樣，就表示可以平分， 具有對稱關係。

最 後，老師在百宮格上，排出對稱圖形，以長磁鐵條當做鏡子，孩子們從是否真的可以照出和原先一樣的圖形去判定是否有對稱。這是在教科書上四五年級的課程，山 泉班的孩子竟能模仿原有圖案排出對稱圖形，而且也能從對稱軸往兩邊驗證，對稱點離鏡子的格數要與原先圖形離鏡子的格數一樣多。對啊！誰說課本是四五年級才 教的東西，孩子一定得到四五年級才能懂呢？

九九乘法--具可行性與挑戰性的課程  湘如10/14/2010

今天的學習單是｢九九乘法表｣，在開始之前先復習了行與列，老師要學生拿出一把直尺，在九九乘法百宮格裡，找出行2、列2與列4。確認大家都懂得行與列的不同後，大家玩一個遊戲，要很快地找到老師要求的行列，並說出行列內的倍數，例如：老師說
｢行8｣--學生回答｢8.16.24.32.40.48.56.64.72｣、
｢列1｣--｢1.2.3.4.5.6.7.8.9｣、
｢列9｣--｢9.18.27.36.45.54.63.72.81｣。

老師還用英語做示範，帶著大家念了行3；聽完老師的示範後，孩子們也躍躍欲試，大家一起念了行5；因為不是所有人的英文都可以跟得上，老師事前就說｢中文或英文都可以｣，老師總能對學習進度不同的孩子給予包容。

大家念完行5，老師請柔禕用英文念一次做為示範，因為把forty念得有點像fourteen，老師帶著大家用英文念了13、14、15、16、17、18、19，這些teen結尾的字，更強調英語中的｢青少年teen-ager｣指的就是十三到十九歲的人。

搭配著新東西｢九九乘法百宮格｣，大家一起拍念之前學的二的倍數、三的倍數，也就是行2、行3， 從全部人一起拍念，到最後一年級拍手、二年級念出三的倍數，最後到大家都不拍手，一年級照表、照譜讀，二年級試著用背的，這樣一兩次後，大家念得愈來愈順 暢。我也發現過程中，老師都是讓大家一起做，依照學習速度不同，給予不同的挑戰，不會在還不熟練的階段，讓孩子一個一個念，我想是大家一起，孩子出錯可以 參考他人修正自己，不會在大家面前出錯，造成陰影尷尬。

在 加分時，老師要學生在老師每加一個棋子時，就往上數一個三的倍數，連原本加分的簡單動作，都可以變成複習。熟悉完三的倍數，進入四的倍數。一開始，由老師 彈舌三次，學生往上數四的倍數，這樣的節奏習慣後，學生照著同樣的節奏自己拍三次，往上數一個倍數。有了之前的預備，上一節課會拍到不知道拍了幾下或拍到 哪裡的情形不見了。

之後，兩個人一組，利用兩把直尺對齊縱軸、橫軸，找到老師說的乘式，例如：
｢5x2｣--一把尺對著列5、另一把尺對著行2，找到乘積10；
｢4x2｣--一把尺對著列4、另一把尺對著行2，找到乘積8；
｢8x9｣--一把尺對著列8、另一把尺對著行9，找到乘積72…。
老師更藉機幫孩子機會教育，如何正確的、穩定的使用工具。在試了好幾個不同乘式，了解大家可以依照乘式找到乘積之後，老師要小組兩個人繼續合作，一個人固定橫的尺在列2或列3，另一個人移動直的尺從行1到行9，讀出2與3的九九乘法，並一一上台供老師檢驗是否能正確使用九九乘法百宮格。雖然老師不斷的反復練習，但每一次都增加一點難度，孩子並不會覺得無聊，我看到所謂的「挑戰性與可行性兼具」，也看到這堂課的目標：反復練習到不知不覺記下來。

今 天的數學課，老師用英語浸潤的方式，要孩子們假裝今天是在美國的小學裡上課。老師每一句話都用英語先說一遍，當孩子不太理解時，再用中文說一遍。課堂中還 有幾個特別不一樣之處，像是家蓁對定軒不太和諧，說了不太好的話，老師問家蓁要不要對定軒說對不起？不同於一般認為要大聲說才有誠意，老師讓家蓁可以小聲 說，讓定軒聽見就好。老師肯定大家「願意擦掉家蓁不小心做出錯誤的畫面」，更肯定家蓁，「能在老師提醒下，願意改過，這是尊重老師的表現。」此外，老師在 加分時讓孩子配上聲音，老師總是找機會讓孩子動一下，如此一來，他們就很坐得住。

白板上的黑白棋子是數學課的活教具，是記分板上的重要元素及玩數學時的最佳幫手。一上課，(引發討論)孫老師用黑與白棋子各排一行，問：「你們猜我在想什麼嗎？」孩子立刻知道：白棋拍一下，黑棋唸數字。孩子們做出:拍2、拍4、拍6……數到20。老師將棋子增加一行白棋，孩子們做出:拍拍3、拍拍6、拍拍9……數到30。孫老師移走一行白棋，孩子們做出:拍2、拍4、拍6……數到20，這次更有信心，孩子們都將目光集中在白板上棋子的排列變化。孫老師又將棋子排成三白一黑，孩子們做出：拍拍拍4、拍拍拍8、拍拍拍12……數到40，依此類推…。

對於AB組的孩子而言，雖然一年級和二年級在數學程度上存在著差異，孫老師在教學上顧及兩個年級的需求，適時地給予不同的挑戰，也讓二年級的孩子當起「鷹架者」的角色。如：她看到一年級的孩子對於超過20的數字較沒有把握時，請二年級的孩子示範；二年級示範後，再請一年級重新挑戰。她讓孩子用自己的方法去教同學，由此觀察孩子是如何理解。

二年級的孩子都很認真的扮演起小老師的角色。我看到家蓁教珈嘉，先是示範拍拍3、拍拍6…到30，再請珈嘉作一次。當珈嘉唸錯，家蓁耐著性子讓她再試一次或再示範一次，經過多次的實作經驗後，我們看到珈嘉的確突破原些一直卡住的地方，順利地唸到30。

經過這一關的考驗後，孫老師提昇難度，指示白棋沒有聲音，黑棋蹲一下，孩子邊唸邊做動作挑戰4.8.12.16…。老師再挑戰：如果黑棋是偶數的就要蹲一下，黑棋是奇數時手要合掌舉高。哇！竟然難不倒孩子。

孫老師讓孩子挑戰3的倍數，因為3的倍數包含奇數（3、9、15、21、27）與偶數(6、12、18、24、30)，孩子必須清楚奇數與偶數的概念外，同時還要加作正確的動作。二年級的孩子信心十足的上台挑戰，包括柔褘、定軒及家蓁都挑戰成功。

老師將代表奇數部分的黑棋挪走，代表偶數者維持原先位置，這樣的設計是一種情境的舖陳，讓孩子有機會發現一種「律」的存在。老師再讓孩子以這種活動去驗證4的倍數：「倍數是偶數的就要蹲一下，倍數是奇數時手要合掌舉高。」老師問：「4的倍數都是偶數嗎？偶數的倍數都是偶數嗎？」「誰可以證明？」這時定軒回答說：「偶數的倍數一定是偶數。」老師再問：「有沒有可能當數字大一點的時候，就有例外？」當下，孫老師也立即將他的回應「偶數的倍數一定是偶數。」寫在白板上，進而開始與孩子釐清概念。

首先，以7×8為例，讓孩子猜答案是奇數還是偶數？又連出3×3、9×6、5×4、3×9、4×7、8×3、9×5、1×3、3×2等算式，讓孩子去試著發現與歸納「奇數的倍數（凡1、3、5、7、9行者即為奇數）奇數的偶數倍（凡2、4、6、8、10行者即為偶數」的定律。於此，數學不單只是拍拍手、點點頭等做動作的樂趣而已，更是蘊涵著數學概念之間的關係連結，而你發現了嗎？

看得到的倍數—山泉班數學課  湘如10/13/2010

延續著倍數課程，老師在白板上的百宮格上，排出十列的黑白棋。依照每一列的棋子數量不同，孩子可以一眼看穿要怎麼拍、怎麼數、是多少的倍數。例如：每一列兩顆白棋、一顆黑棋，是3的倍數；每一列一顆白棋、一顆黑棋，是2的倍數；每一列三顆白棋、一顆黑棋，是4的倍數。

在看完二和三之後，老師開始排四的倍數，隨口問了排完十列，最後一顆棋子是多少？柔禕不經思考，直接回答：最後會是40。可見這百宮格很有用，容易一眼看穿。有了黑白棋和每一列數量不同，更能讓孩子們自然地做到邊拍邊數。透過圖像(黑白棋、數量)和節奏(遇白棋拍手的次數)，竟能在還沒教九九乘法之前，就讓孩子輕鬆地看到、找到倍數。太神奇了！大家還一起在計分表上，找2的倍數、3的倍數，老師總能善用周邊的一切進行教學或驗證，總是那麼自然順暢。

接著，延續上一堂課的結束前，進行的｢三的倍數｣。老師將全班孩子兩兩湊成對，讓二年級的學長姐對一年級學弟妹進行一對一教學：家蓁教珈嘉用背的，要她把不熟的20到30之間的三的倍數記下來；柔禕和定軒則是照著老師上課教大家的方式，幫學妹指著學習單上的圖示，要她們每拍兩下念一個數字。從孩子們教他人的方式，老師可以看出他們各自是如何學習、如何理解的。

老師讓一年級一起拍念三的倍數，幾次下來，愈來愈順暢。為了提高難度，增加挑戰性，老師請全體一起拍念三的乘法，而且到黑棋(三的倍數)還要蹲一下。後來甚至白棋(非三的倍數)不 拍手，改成雙手不出聲音空捏一下。難度一次一次提高，但都在小孩可挑戰的範圍內，不會難到做不到，所以全部的孩子玩得很開心。不知不覺中，孩子們對三的倍 數經過一次又一次的反復練習，愈來愈熟練。同樣的，大家也把四的倍數給玩遍了。我注意到，老師盡量讓小組一起作答，讓孩子在學習過程中，如有不確定、有所 掙扎時，還可以看看他人修正自己，避免挫敗感覺。

接下來，老師又提高困難度。在拍念二的倍數時，奇數手高舉、偶數手平舉，而且遇到黑棋(二的倍數)要蹲一下。奇偶數大家挺熟的，很順利的完成。還做了三的倍數，三的倍數中奇數(黑棋拿掉)手高舉、偶數(黑棋還在)手平舉。透過動覺學習，孩子個個臉上掛著笑容。且過程中，不論遇到要拍念多少的倍數，老師一定在白板上擺上對應的黑白棋，讓孩子可以看著數。

到 了四的倍數，老師要孩子們想想｢四的倍數都是偶數嗎？｣孩子想了一段時間，大概是把前面一段做的四的倍數都回想了一遍，之後有點肯定又不是太確定的回答 ｢是｣，定軒也贊成這說法，還說｢偶數的倍數一定是偶數。｣大家也同意這說法。老師把定軒說的話寫下來，要他們再想想，相反地，｢奇數的倍數一定是奇數 囉？｣經過剛才做過三的倍數，遇到黑棋時，有時手高舉、有時手平舉，孩子很清楚這句話放在奇數上是不成立的。而是，奇數的奇數倍是奇數，奇數的偶數倍是偶 數。

老師舉了幾個例子，例如：7x8，3x3，9x6，5x4，3x9，4x7，讓孩子們分辨最後的結果是奇數還是偶數(這已是中高年級程度了)，孩子也大致能分辨。

把發現的樂趣與驚喜留給孩子—AB組數學課   湘如10/25/2010

一上課，老師告訴孩子們今天要挑戰很難的，但不說是幾年級的課程，只在開始前確定每個人願不願意接受挑戰，孩子們當然一口接下挑戰，還說一定要很難喔！在大家同意接受挑戰之後，老師邀請珈嘉與佳婕兩個人在棋盤上排出三十二。有二年級孩子反應：那麼簡單！老師馬上說：是把比較簡單的給一年級，難一點的給二年級，還是把難的給一年級，比較簡單的給二年級呢？老師這麼一說，原先嫌太簡單的孩子便就此打住。老師在百宮格上放了8顆黑棋。

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話真的不該說得太早，挑戰現在才要出現呢！老師請孩子把32顆白棋中的8顆白棋換成8顆黑棋(換在20~30的那一行)，現在，孩子一眼可以看出白棋剩下24顆。

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到這裡，我知道老師要上的是｢減法｣，但我還不了解為什麼要用黑棋去換白棋，而不是一般把白棋拿掉八顆的方式。後來老師讓孩子們兩兩一組，每組拿數棒三枝10、一枝2代表32，告訴他們要拿出一個8，孩子手邊沒有8，紛紛拿出一個10要和老師換一個8和一個2，在他們操作的同時，老師一邊在白板上呈現數學思維，我才知道老師要孩子們透過操作教具，發現｢借位｣的步驟。

32-8
=30+2-8
=20+10+2-8
=20+(8+2)+2-8
=20+(8-8)+2+2
=20+0+2+2
=20+4
=24。

孩子們見到數學思維剛開始有點掙扎，老師告訴詢問他們是否介意老師教一些超過程度的東西，孩子們仍表示願意接受挑戰。老師讓一年級的孩子們用數棒不斷地操作教具，去解一題又一題需要借位的題目(例：35-8、25-8、17-9)，有人發現總要拿出一個10來換成要減的數與其湊成10的好朋友，例如：要減7，就要拿一個10換7與3。二年級透過一些操作學習紀錄數學思維：
25-8
=10+10+5-8
=10+(8+2)+5-8
=10+(8-8)+2+5
=10+0+7
=17。
    在他們遇到困難時，老師將剛才的紀錄寫在白板的一角，讓二年級的孩子去觀察整個思維的步驟，發現思維的過程。我注意到老師從不急著教授，而是陪伴小孩、等待小孩去發現。發現的過程與驚喜，老師都留給孩子去經歷，不會直接告訴他們，剝奪發現的樂趣，難怪他們都喜歡數學課。

誰說只有一種第一？--AB組數學      湘如 10/21/2010

今天大家一起在巧拼上玩分數派。老師要孩子們圍成一個圈，中間要有個由九塊巧拼所形成的｢正方形｣，有人嫌離中心太遠，嚷著只要四塊巧拼大小的正方形就好。大家圍著正方形巧拼，先把分數派中方形和三角形的卡挑出來，留下圓形與扇形的卡。

    遊戲開始，大家依序順時針方向一個人拿幾張(同一輪內，大家張數相同)圓形或扇形，之前有玩過這個遊戲，孩子們很清楚，拿愈大片的，可以愈快湊成一個圓，所以都會從大片的開始拿起，還會邊拿邊把手邊的卡分類、排成圓形，看出自己還缺什麼。

    待中間共用的分數派數量剩下十片上下時，便停止取卡。老師要孩子將同樣分母分做堆，並排成派的形狀。當然，沒有人手邊的卡剛好湊滿，所以就開始換。剛開始一人只可以拿一片去換另一片；後來老師要孩子們試著把手邊分母不同的卡湊成一，大家都發現1/7不太好與其他分母配合，有些孩子們更發現1/5和1/10可以在一起，1/3、1/6和1/9可以一起，1/2、1/4、1/8可以一起；後來，更開放了｢只丟不拿｣、｢只拿不丟｣兩種方式；｢只丟不拿｣最後完成了就喊｢成全｣，｢只拿不丟｣最後完成了則喊｢完滿｣。 評分的方式有四個方式：
誰最早｢成全｣？
誰最早｢完滿｣？
誰湊成最多圓？
誰用了最多卡？

每個人都有機會可以成為優勝，也鼓舞了幾個辛苦蒐集大分母的孩子。

一眼看穿分數—AB組數學課   湘如10/20/2010

今天接續著上一堂課結束前做的學習單｢分數｣，老師拿出分數卡，要孩子們一眼看穿分幾份，老師還打趣的問一眼看穿是一隻眼睛看嗎？那兩隻眼睛看會不會一樣？定軒認真的回答：｢不會改變。｣孩子都會一眼看穿，但仍不了解｢一眼｣指的不是一隻眼睛，而是剎那間。

老師在分二份(一條橫線)的分數卡上，疊上分五份(四條直線)的透明片，學生說出之前學過的數學思維：5x2=10；分三份(兩條直線)的分數卡上，疊上分二份(一條橫線)的透明片，學生亦能說出數學思維3x2=6。而且乘式的列法，不在於數字出現的先後順序，而是搭配上一堂在九九乘法百宮格表中的行與列。

接下來的活動，老師要將七個人分組，老師問孩子：｢該分二組、三組，還是四組？｣孩子發現七個人怎麼分都不公平。老師提議讓家蓁和定軒兩人猜拳，猜贏的人先選組員，同時決定幾個人，結果定軒猜贏，選了佳婕育筠，定軒決定自己這組三人就可以，將欣儒、珈嘉、佳婕三人都給家蓁。老師為了讓大家分組後可以試著和諧同工，先提醒了定軒一會兒不可以抱怨｢少一人｣，家蓁則不可以因人多易得分而驕傲。

分組妥當後，老師讓兩組各拿一個1、一個1/2、兩個1/4、三個1/3。過程中，老師也依照他們手上的分數派問問題，例如：三個1/3與一個1/2一樣嗎？孩子們便依照問題，拿出分數派疊合比較。老師又讓每個人手上各拿一個1/5、一個1/6、一個1/8和一個1/4。要他們用任何方法排出一個1/2、一個1/3、一個1，在這過程中，發現1/3和1/6常會一起出現，1/4則可以換成2/8。透過小組合作，與自己一個人拼不太一樣，組內成員在過程中相互學習，激盪出火花。

最後，老師讓孩子們各自完成學習單--分數派，先要他們猜猜看，學習單上各是是幾分之幾？再要他們拿出分數派對齊學習單上各個扇形的圓心角驗證看看。大家都做得不錯，對｢扇形佔圓的多少｣有了感覺，且都確實地拿分數派比對過。在下課前，老師帶著孩子們把答案核對過，並提了問題：1/2與1/3哪個大？1/3與1/4那個大？並用｢僧多粥少｣、｢一塊餅愈多人分，每個人得到的愈少｣……，這些在現實生活中會發生的情形去強化孩子們對分數的感覺。

今天的數學課，就在每個孩子在天空中打了一個勾，表示自己懂得今日所學，結束了今天的課程。

分組的過程中，家蓁因為不想和一年級的一組，一度在一邊休息，不願加入。老師接受她與自己的不和諧，沒讓她干擾課程的進行。

做中學分數—AB組數學課  明芳10/20/2010

今天的數學課，孫老師先用一張「分數卡」（正方形）讓孩子觀察可以分幾份？孩子們回答：三份。老師問：是「一眼看穿」的嗎？孩子們回答：是兩隻眼。老師要孩子實驗用一隻眼看，試試結果會不會不同？孩子們真的試試看，發現都一樣。老師讓孩子試著用自己的話「溝通」其中的道理，孩子們沒有猶豫，很快就能說出自己的看法。

延續之前九九乘法表的經驗，孫老師繼續變化分數卡，用兩張透明卡交叉，並要孩子加入數學思維說出怎麼知道的。如：分數卡上顯示的是5直行及2橫列，孩子能表達出5×2=10。孫老師並請孩子運用手勢來確認，先數「行數」再數「列數」。

教具換成「分數派(圓形)」，讓孩子去思考１個圓、1/2圓、1/4圓之間的關係是什麼？幾個1/2圓可以變成一個圓？幾個1/4圓可以變成1/2圓？接著，透過分組的方式讓孩子挑戰「合成1的各種可能性」。第一個任務是讓孩子用任何組合合成「1/2圓」,珈嘉這組操作的方式是運用一個1/3圓及1/6圓；定軒這組操作的方式是運用二個1/4圓合併而成一個1/2圓。第二個任務讓孩子挑戰合成「1個圓」，看到珈嘉這組操作用5個1/5圓，孫老師鼓勵孩子用不同顏色排出所有可能。他們陸續操作完成的方式有：
(1/3+1/6+1/2)、
(1/3+1/3+1/3)、
(1/3+1/4+1/4+1/6)、
(1/4+1/2+1/8+1/8)、
(1/3+1/3+1/6+1/6)等不同的組合，而定軒這組操作完成的方式有：
(1/4+1/3+1/6+1/4）、
(1/2+1/3+1/6)、
(1/6+1/3+1/8+1/8+1/4)。
兩組的孩子認真的操作著「分數派」，把所有的可能都加以實現。由於答案的本身存在所有的可能性，並非只有一種答案，而挑戰題目是明確的，孩子們可以在實際的操作過程中去嘗試、發現、修正並找到成立的方式。看著孩子投入其中，努力地挑戰任務，不就是「做中學」的最佳例證嗎？在雅歌，數學課是透過孩子們實際操作去建構數學概念，不只是被告知的學習，更不是一堆抽象概念的堆砌。

操作之後，孫老師請孩子拿出學習單，觀察「分數派」的圖，猜測陰影的部份是幾分之１並寫下來，然後再用教具驗證。孩子們這時已經不需要老師引導，可以直接用文字表達，也能再次驗證自己的猜測是否正確。看到他們可以依自己的步調及方法進行學習單的活動，我知道這些學習經驗對孩子們而言是有意義的，因為他們深刻地經歷了思考數學這件事。

學習單的活動結束，孫老師問孩子：「1/2圓比較大還是1/3圓比較大？」孩子們毫不遲疑地回答:「1/2圓比較大。」接連幾個比較之後，孫老師凝聚:「一塊餅愈多人分，每個人所得到的愈少。」她在白板上寫下：「僧多粥少」並且用和尚吃粥的故事解釋這句成語，解釋後又問孩子「僧多粥少」是什麼意思？又再度重復「一塊餅愈多人分，每個人所得到的愈少」。

從分數的操作活動、觀察、驗證進而延伸到品格所要傳遞的訊息「僧多粥少」，這樣的結合也可以是分母概念的延伸與舖陳，真的是令人驚嘆呀！

百宮格--不只是九九乘法表的九九乘法表    AB組數學  湘如   10/18/2010

上課前，老師在百宮格棋盤上以棋盤左上角為起點，先擺上一顆黑棋；接著，圍繞黑棋的下方與右側擺上3顆白棋；再以五顆黑棋圍繞白棋，排出第三層。排第四層時，老師邀請發現規律的孩子們來幫忙。就這樣，孩子們憑直覺找到規律，一直排到第六、第七層。老師要孩子把棋盤左上角當靶心，觀察一共排出幾個正方形。

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在對圖型有所了解之後，老師手拿兩條磁鐵條，同樣把左上角當靶心，圍出大大小小不同的正方形，並發現以下｢高級數學｣：
2x2=1+3、
3x3=1+3+5、
4x4=1+3+5+7，
雖然還不了解這些式子的意義，但能遵循老師的示範，把圖形搭配九九乘法百宮格表，完成其他的式子。

接著，老師利用兩把直尺在白板上的百宮格表中圍出2x2、3x2、4x3，要求孩子數出棋子有幾顆？再對照學習單中的九九乘法表，驗證其乘積是否與棋子數量相同？孩子們發現：在百宮格的九九乘法表中，乘積數字正好是所圍方形的面積，可以用格子數出來。在驗證的過程中，老師要求孩子一定要先數棋子有幾顆，再去對照乘法表的數字。老師還給不同的式子(4x4、5x4、6x4、7x4、8x4)，讓孩子們練習：在棋盤上一眼看穿棋子數量，對照在乘法表上的乘積，相互驗證。

之後，老師讓學生兩兩一組完成任務，任務同樣是先數老師白板上的棋子數量，對照九九乘法百宮格的乘積做驗證，只要兩人一起合作就可以得兩倍分數。老師出的第一題5x7，卻沒有任何一組得分，孩子不懂為什麼答案正確，卻無法得分？老師說：因為每一組的步驟都不正確，都沒有先數白板上的棋子數量，就直接在乘法表上找出乘積。第二題5x6，大家就輕鬆地做對了，老師卻發現孩子們都念｢五乘六｣，但老師沒直接指出那是錯誤，只是邀請他們跟著老師一起念｢五乘以六｣，多念幾次，孩子也知道了老師要他們修正的地方。過程中，老師都會先帶著大家一起數棋盤上的棋子數量，再一一巡視他們在乘法表上找乘積的方法，發現有些組在找乘積時先看行，有些先看列。到底被乘數要看行還是列，因為並不影響結果，老師就讓孩子們投票決定，希望找到共識，沒想到是三票對三票，所以就兩種方式交錯使用，這不就是交換律嗎？

接下來，老師說給柔禕八坪的土地，要柔禕把八個磁鐵排成一個方塊，柔禕排了一個4x2的方塊。還有別種排法嗎？珈嘉把八坪土地移動成另一種方塊，但仍然是2x4。老師問：這已經是全部的排法了嗎？大家沒想到老師想要的1x8、8x1。老師並沒有急著告訴他們，反而帶了一個活動：六個孩子一人找一塊磁磚排隊，隊伍必須是一個方塊，大家很快地在磁磚上排出3x2或2x3的隊形。老師要他們同樣一人站一塊磁磚排一行或一列，並看看腳下踩的磁磚是否為一個方塊？定軒發現老師要的6x1、1x6了。就這樣一個小小活動，孩子們回到座位後，找到了乘積為6的四種可能，與乘積為8的四種可能，還發現了被乘數和乘數可以顛倒其位置。

今天的這一堂課，我才知道九九乘法百宮格表不僅是把乘積填在相應的格子裡，更可以看見乘積與面積的相互呼應和交換律。乘法表裡透露的資訊還真不少。

今天的家蓁不太和諧，從一開始上課的電風扇問題，覺得自己吹不到，所以堅持應該關掉，大家都不要吹；到後來，要兩兩一組找乘積時，認為做的事太簡單，不想玩更不用分組。老師不但沒有一句責備，最後還讓家蓁朝著老師希望的方向去做。

倍數—山泉班數學課  湘如10/11/2010

今天的數學課，一開始先做學習單：可以平分給兩個人的蛋糕就打勾，老師要求孩子在每一等分上編號驗證。孩子們很快的做完學習單，發現可以平分給兩個人的蛋糕，最後都是切成偶數份。

延續上一次上課的｢奇偶數｣，老師帶著大家數到100，拍出奇數、念出偶數，並一一檢驗孩子們是否做對了。一開始有點難，尤其是有些一年級的孩子超過20時就不太確定，但經由老師的鼓勵，沒有人因為遇到困難而放棄，一一通過老師的檢驗。

定軒是第一個通過的，老師觀察他的節奏，發現他數的時候沒有想奇數，直接念出偶數，請他修正，他說他可以不用想，直接念偶數。為了先讓孩子知道拍的時候，心裡是要有數線，要默數其他數，老師還是要他試試。老師說：｢定軒，你現在做得比較難；拍手時心裡想奇數，比較簡單。你要試試簡單的方式嗎？還是你只會做難的。｣老師的說詞，讓定軒相當舒服，而不再排斥心裡要默數這件事，反而更要挑戰看看，證明自己辦得到。

接著，每個人用自己的速度寫學習單，並一起拍念2的倍數給老師檢查。在剛才一一檢查後，二的倍數不成問題，二年級的定軒、柔禕、家蓁還一起表演｢不想奇數、只念偶數｣(就如同先前定軒做的那樣)，也很順利。老師之前堅持學習的時候用拍來默數，是為了讓他們不省略步驟，以建立數學思維，而非只記答案。

之後，老師要孩子們試試學習單上｢三的倍數｣。一年級的孩子覺得有些難，老師請二年級的孩子負責拍，一年級的孩子負責在百宮格上圈出三的倍數。二年級的孩子覺得不公平，一年級只圈太容易。老師沒念他們，反而是說｢不願意拍的也可以坐下來，加入他們（圈三的倍數）。｣這麼一說，嚷著不公平的人就沒問題了，還做得很開心。原本不願意做的事，變成是他們才會做，是很厲害的。

最後，大家看著百宮格，一年級負責拍(拍兩下)，二年級依序念出三的倍數。透過下課前的這次驗證，孩子們發現之前二的倍數是每隔一格就要圈起來，三的倍數則是每隔兩格就要圈起來。

拌一盤分數生菜沙拉—山泉班數學課   湘如  10/7/2010

一上課，老師就賣關子，讓孩子們猜猜看盒子裡有什麼？孩子很好奇老師葫蘆裡賣的是什麼藥，都仔細的聽、認真的猜，有人猜出盒子裡的是紙張。老師接著問：｢有幾張？｣這太難了，老師讓他們眼睛閉起來摸摸看，大家贊成｢盒子裡是很多張紙卡｣，但沒人能回答紙卡上頭印的是什麼？到底有多少張？老師凝聚重點：｢用對工具｣--用看的，才能看出紙卡上面印的是什麼。

經過前一個活動，當老師拿出盒子裡的卡片時，孩子們的眼睛都瞪得大大的，想要看清楚盒子裡的紙卡到底是什麼？喔！原來是一張張數學附件裡的分數圖卡。老師先給每人一張附件，請他們協助撕下附件，並且邊撕邊驗證1/5就有5塊、1/4有4塊、1/3有3塊……。在撕附件的過程中，老師引導孩子去思考做好這件事需要的品格—細心。欣儒分享她的訣竅：｢先摺一摺再撕｣，老師也拿起一張附件加入孩子們的行列，並說要學欣儒的方法，因為那是榜樣。老師帶著孩子凝聚品格：｢好的榜樣我們學；壞的榜樣我們不學。｣在撕附件的過程，手邊做著簡單的機械工作，大家能做這樣的討論相當不錯。

老師要孩子們想想，什麼情況下會用到分數？分數是加減乘除的哪一種？大家議論紛紛、沒有答案。老師提示：｢把一個東西分給幾個人。｣定軒說：｢是除法。｣經過討論、釐清，老師幫他們凝聚了重點：平分是一種除法。接著，要他們想一想：如果要聘店員，對方不會分數，你會聘他來工作嗎？有人說不會，但也說不出為什麼不會。老師要他們想想生活中哪些地方會用到分數，其實孩子們愛吃的比薩、蛋糕、派……，在切時都得用到分數，不過因為手邊太忙了，孩子都沒想到那些。老師拿出時鐘圖卡，問他們上面有分數嗎？並帶著他們找到：一小時是60分鐘、半小時是1/2時、一分鐘是1/60小時。

大家都撕完後，老師請孩子們把撕好的分數派繳庫，一一放到老師的講桌上，在繳庫的同時，得再一次自行清點：1/3有3張、1/4有4張……，老師順道問了：｢1呢？會有幾張？｣有撕到1的人，動手做過就知道。前半堂的數學課像勞作課，但孩子們樂此不疲、相當投入。

最有趣的來了，老師把所有孩子們繳庫的分數紙片混做一堆，許多不同顏色的紙片堆在桌子上，看起來就像是一盤生菜沙拉。老師讓孩子一個接一個繞著桌子走，每走過一圈拿一個，而且儘量拿不同顏色的；每一次拿兩個，每一回手中的顏色要不同；每次拿三張、每次拿四張……；直到老師桌上的分數紙卡數量無法足夠分給每個人一張為止。

現在，每個人桌上都有一小盤的生菜沙拉，同樣口味(同分母)可以湊成一的排出來之後，剩下的每人可以拿一個不要的到前面換一個想要的回去，直到有人最先把所有分數派湊成完整的為止。

這堂課，從一開始在拆附件時，就是一種學習：學細心的品格、學會驗證每幾個幾分之一就是一(分母和個數有關)。在｢湊一｣時，要會分類，並從缺幾個幾分之幾，探索要湊哪個比較快去做取捨。

我發現，老師更厲害的一招是，從不說｢這很簡單｣，更不可能說｢很簡單，怎麼不會。｣而是說｢很難！｣甚至｢對啊！那太難了，是超過你們這個年級所要學的。你們還可以挑戰嗎？願意挑戰嗎？｣ 這一堂課的分數沙拉，份量不小，但經過細細咀嚼，不再難以下嚥。

一堂不只是數學課的數學課      明芳 10/6/2010

上課了， 孫老師詢問AB組孩子：今天的計分板要如何使用？她說：「要用加法或減法？」孩子們有人想用加，也有人想用減。孫老師讓孩子舉手決定：要用加的是欣儒、柔褘、珈嘉，要用減的人是定軒、佳婕、家蓁。孫老師說：沒關係，老師都可以接受。孫老師作兩個計分板：將要加的人放在一起，要減的人放在一起。並說明：用減法的人被看到犯錯時會被拿掉棋子，用加法的人被看到做得好時就被加分。

孫老師拿出分數卡，要孩子們想像這是一盒盒放在店裡切好的蛋糕。她拿出被分成兩等分及九等分的蛋糕，現在有三個人要分這個蛋糕。怎麼辦呢？佳婕說要選九等分的蛋糕，因為有三個人；定軒提出可以把兩等分的再各切成三塊再分(引發討論，透過提出問題，讓孩子在有情境中參與)。

接著，孫老師繼續以提問的方式(情境) 帶入「平分」的概念，讓孩子思考問題：這盒蛋糕有5塊，你們兩個人要怎麼分？家蓁說：「其中一個人吃3塊，另一個人吃2塊。」孫老師再問：「這樣有平分嗎？」並在白板上寫下平分的意思是指：「每個人分得一樣多。」之後，提供一個情境讓孩子對平分的概念有更明確的理解(凝聚重點)：貓頭鷹媽媽有兩個兒子，現在要去買蛋糕，買的蛋糕所切的等分是直接就可以平分，進而決定要買或不買。他舉例，如：5塊，孩子說不買；3塊，孩子不買。定軒這時提到5和3是「奇數」，不能平分。老師用透明的分數卡讓孩子分辨奇數與偶數，如：2、6及4是偶數，可以分成2等分、6等分及4等分。

老師問：100是奇數還是偶數呢？孩子思考後說是偶數，但孫老師說：「但100有1呀!為什麼100他有1但不是奇數而是偶數？」珈嘉說：「他是10前面又多一個零。」孫老師提醒：「他最後一個數是0還是1？」(釐清概念)

課程繼續，孫老師和孩子玩「奇數與偶數」的遊戲：當聽到老師唸的是奇數時，一隻手伸出，身體要彎掉；唸到偶數時，雙手平舉。老師先從數字1開始唸起，孩子開始做動作，孫老師也循序漸進的從1唸到20，孩子熟悉這個遊戲後，再以兩人一組的方式進行活動。

這時，家蓁突然要求要三人一組，而柔褘也不想和佳婕同一組。孫老師運用記分板提醒：不能開心的進行活動，與自己不和諧；拒絕和同學一組，與他人不和諧。在記分板的介入後，家蓁接受兩人一組的遊戲規則，但柔褘仍處於與自己的不和諧狀態中。孫老師允許柔褘暫時不參與該活動。

當孩子兩人一組時，前面的人代表奇數，要將手合併往上舉；後面的人代表偶數，雙手平舉。老師將數字擴充到百位、千位及萬位，都難不倒孩子。很快，柔褘也開始自己做起動作了(開始重新參與)。

孫老師又示範用拍子來感覺兩個一組、三個一組。當示範後，便問孩子：「我怎麼做？」孩子回答：「奇數拍手，偶數講數字。」從1(拍手)2(說數字)3(拍手)4(說數字)…………直到唸到40。(這不就是九九乘法2的倍數概念)又再示範拍2下第3下唸數字(九九乘法3的倍數概念)，又換個方式1從100的範圍內，唸到3、6、9 時才能說數字，其餘數字以拍手的方式代表。之後一直進行到4和5的倍數，讓孩子運用拍手及口說數字的實際參與，經由動覺及音樂的韻律讓孩子理解何時該拍何時該說數字。

數學概念再擴充到「對稱」。老師請孩子思考：就你可以看到的東西，要分成幾等分比較容易？先讓孩子對教室中的物品進行討論，如：椅子、紙及剪刀等東西要怎麼分呢？然後又走到注音符號的磁鐵板上詢問孩子：「注音ㄒ、ㄍ及ㄓ要怎麼切？」討論後，讓孩子開始「找可以切的很公平的給我」。孩子找到的注音符號包括一、ㄨ、ㄩ、ㄇ、ㄈ、ㄑ、ㄚ、ㄍ、ㄒ、ㄦ及ㄏ等。

孫老師說：「我要檢驗，並放一面鏡子。」先以ㄍ為例，ㄍ的兩半是一模一樣還是照鏡子(＜＞)呢？(釐清概念)當切ㄍ時，其兩邊會是一樣的，所以他並不符合對稱的概念。繼續檢驗一、ㄨ、ㄩ、ㄇ、ㄈ、ㄑ、ㄚ、ㄒ等注音符號都符合對稱的概念。

孫老師提出什麼叫奇數？其意指不能平分，而剛才我們學到一種概念：對稱(即表示其上下或左右像照鏡子一樣)。說完後，孫老師又在棋盤上排上白色的棋子，請孩子用黑色的棋子排出對稱。好幾個孩子都走到台前想要排。這時，孫老師請孩子們都回到坐位，請他們以舉手的方式來表達，再一次問：「誰要排第一個？」這次，先請定軒出來，再請家蓁出來。老師針對孩子所排的建議驗證一下，並示範要如何驗證。這樣的引導與示範，讓孩子對「對稱」這個概念不是只停留在抽象的定義，而能更具體地掌握其意義。

四十分鐘的數學課，孩子的概念一直延伸與擴充，從平分→奇偶數→倍數→對稱。而孫老師也在課堂中不斷地引發討論、提供有感覺的學習情境、凝聚重點及釐清概念，讓數學課變得好玩及有趣。孩子在過程中學會了知識(數學概念)，建立了技巧。我們也在課堂上中觀察到，當部份孩子在學習上出現一些莫名的情緒時，孫老師會先暫停課程，先關注到孩子的需求，並運用方法讓孩子能重新調整學習態度與心情，這樣的教學過程，讓數學課傳遞著滿滿的教育愛。

一眼看穿        湘如 9/30/2010

    數學課裡，老師常說「一眼看穿」。今天老師要孩子想想：「一眼看穿，只用一隻眼睛看嗎？」佳婕說：「是用兩隻眼睛馬上看出是什麼。」

老 師在百宮格上面排了一排棋子，問：「這樣有幾個？」家蓁回答：「十個，因為百宮格一行十個。」因為老師排的是橫的一列，但家蓁一開始說一行。所以，老師為 孩子們進行「行與列」的活動，要孩子們在她面前排成一行或一列。排一行，他們會在老師面前成一條直線；排一列，就在老師面前成一橫排。老師為了讓他們更清 楚了解，換了好幾次位置，剛開始孩子們在排「行或列」上，有點疑惑、掙扎，但透過看見別人排的方式、站的位置，用「身體」了解了行與列的不同。老師還用孩 子為基準，要其他人面向某一位孩子排行、列，多試了幾次之後，孩子看來是了解行與列的差別了。

    孩子回到座位，老師測試在活動後，他們對百宮格上的行與列，是否能夠正確分辨。果真，他們在透過「身體動過的經驗」，知道「橫的是列、直的是行」。

    在百宮格的一行黑棋中，老師拿掉一顆，學生一眼看穿是九顆，延續上一堂課的數學思維：10-1=9。再放上一顆白棋，數學思維9+1=10。再做了9-1=8和8+1=9。式子是加法，棋子有兩個顏色；若是減法，棋子僅一個顏色。

之後，老師在百宮格上擺上不同數量的黑棋，要孩子用白棋把每一行變成十個。並把數學思維寫下來：6+4、8+2、4+6、2+8、5+5、10+0。經過上一堂課的活動和這堂課之前的複習，孩子都能順利解決這些問題。

    在今天的學習單中，大家在「合起來是10」上沒有什麼問題。「合起來是100」對二年級的孩子而言，比一年級的孩子容易許多，老師便鼓勵同儕合作，孩子們透過同學的協助，不但完成學習單，也增進感情，更知道榜樣就在身邊。

    第二張學習單就難多了。老師設計了6、7、8、9，這四個數字的加法，試圖讓孩子發現，先湊成10，剩下放後面。例如：佳婕的6元，不管去加欣儒的7元、育筠的8元，還是珈嘉的9元，都可以先把加數7、8、9中，先拆出4與被加數的6，先湊成十，至於答案是十幾呢？就看7、8、9拆出4之後，還剩下多少。

後記：

    第二張學習單中，孩子還無法一眼看穿老師想要他們發現的，老師並不急著去告訴他們應該要有這個發現，只等帶他們自己去發現，這一點我要好好學習與改進。要避免礙於時間緊迫，把孩子發現的樂趣給奪走，這樣的數學課就無聊了。

    在老師做「合起來是10」的活動時，我想起小時候，媽媽常陪著我和弟弟玩撲克牌「撿紅點」(亦稱釣魚)，那是一種要湊10的遊戲，我覺得對湊10的數字概念有一定的幫助，家長若能陪孩子玩，不但增進親子感情，表面上看來是玩牌，實際上是訓練孩子10以內的加減，一舉兩得呢！

數學思維    湘如  9/29/2010  

數學的思維才是數學課的重點，而不是知識的填鴨或技巧的訓練

    今天的數學課，延續著不一樣的記分板，老師原本要孩子們挑戰課堂參與度(專注度)，大家從滿分4分 開始，分數從一到四，老師說要挑戰全班獲得滿分。老師一說完，定軒補了一句話，認為不可能挑戰成功，老師便在記分板上加上和諧度，要他們學習與自己、與他 人、與環境和諧。上一回的記分板，常有破表的情形，就是孩子們的得分從滿分開始，表現不好扣分，表現好就加分，最後結果常常加到破表；老師說，今天的記分板用減法，表現好加分，也不會加到破表。

    老 師並不急著進行課程活動，而是花了些時間，一方面讓孩子了解記分板，也趁機釐清了加法和減法的概念，我想老師更想要的是，孩子注意到記分板上的專注與和諧 這兩項重要的品格，盡力保持山泉在老師眼中的完美畫面。這就是孫老師特別不一樣的地方，總是看見孩子的優點、優勢，並能營造出讓孩子想極力保持的情境。

    今天家蓁的專注度有點狀況，上課前的敬禮，少了發亮的眼光，還忙著削鉛筆，當然是被老師給發現。敬完禮後，家蓁一度因為專注度被扣光了而不開心，使得和諧度也被拿走一分了。之後，在盡力保持專心之下，家蓁最後得以重回滿分行列。不但如此，在過程中，老師會讓同學們去肯定她的進步，這一點相當值得學習，孩子會知道評分標準並不主觀，只要有努力，不但老師肯定，同學也看得到她的進步，就不會自暴自棄。為了鼓勵家蓁努力｢重返榮耀｣，孫老師在課堂中打了個噴嚏時，也主動把自己放在評分表上，還把自己的專注度扣了一分，要和家蓁一同向滿分邁進。

    今天的課程上的是減法的思維，老師在5顆黑棋中，拿掉兩顆，孩子輕鬆看出剩下三顆，我們一般會說的｢請列式｣，老師說是一種數學思維，的確數學中的式子，是數學家的思維，幾乎是國際通用的記錄方式，孩子順利的回答｢5-2=3｣。之後，老師開始幫他們為星期五的行動學堂｢數學計算高手｣做準備，例如：

七張貼紙，減掉三張，用打叉方式表現｢減｣，剩下四張。

十二張貼紙(孩子們一眼看穿張數，老師為他們釐清一眼看穿的絕竅：每逢十就換行，一行又兩張，是十二張)，減掉三張，剩下九張。

    接著，老師仍用｢每逢十就換行｣的方式，畫了十五張貼紙，要定軒來扣掉八張，並要他用數學思維來呈現，定軒回答15-8=7，家蓁說是7+8=15。為了釐清這一點，老師畫7張藍色貼紙和8張綠色貼紙來呈現出十五張貼紙，釐清了減法是畫掉貼紙(打叉)，加法是兩種不同顏色貼紙加起來。為確知孩子是否真的了解，老師多做了幾題，讓他們看圖說出是加法還是減法。聽他們回答得很順暢，不再疑慮，我想星期五的計算高手他們應該是沒問題了。

    接著，老師在百宮格上排了一排棋子(十顆)拿掉一顆，家蓁一眼看穿是九顆。一排拿掉三顆，柔禕也是一眼看出答案是七顆。老師在七顆黑棋後面，補上三顆白棋，剛好一排，欣儒回答十顆。一排又兩顆黑棋(十二顆黑棋)，加上三顆白棋，是十五顆。這些題目擺在百宮格上面，對他們而言，變得很簡單。家蓁見大家都已滿分，就育筠還沒加到分，還請老師多出幾題給育筠回答呢！

    老師又重複一次，一排少兩顆，是八顆，思維10-2=8。一排少三顆，是七顆，思維10-3=7。以此類推，複習到10-4、10-5，老師問孩子10-6要從後面數比較快，還是從一數到四比較快，孩子知道從前面數快；那麼，10-1比較快，還是從一數到九，孩子知道，接進10(一個完整的整數)，就從後面數快。10以內的加減，在雙手上的就可以看見數線，老師也帶著孩子們在手上做：10-1、10-2……。

    今日學習單，大家都一百分，專注度和和諧度也是滿分，孩子們很努力地做好自己。老師就是有辦法把每一堂課上得很舒服、很自然，讓孩子們(包含我自己)在沒有任何壓力的情況下，自在地做好自己。

後記：愈來愈發現，一堂雅歌的數學課不難，清楚的目標，和與孩子自然而然的互動下，做好一個又一個的小活動，數學思維就會漸漸成形。愈來愈了解雅歌數學特別之處，因為在雅歌的數學課除了知識的傳遞、計算方法的教授外，最重要的是思維的建立。

不一樣的計分板--AB組數學   湘如   9/27

    學校老師常用的計分板是由下往上爬的格子，大家的起點都是｢零｣。今天山泉班數學課，孫老師用的記分板，有專注與和諧兩項評分的範圍，不但可以一眼看穿(比高低)，而且大家的起點都是滿分--一百分，相當不一樣。

    在上課過程中，老師不特別鼓勵某一位孩子，而是以鼓勵全班團結和諧為主，例如：鼓勵定軒做對的事情時，老師說的是｢我們｣，把大家都放在一起，讓孩子感到同在一個班級就是共同體，共享榮譽。透過鼓勵，的確讓他們更和諧，這和學校老師常用的分組競賽，在向心力的營造上有很大的差別。定軒幫佳婕撿了被電風扇吹走的學習單。

    今天學的是單位，各個不同物品的單位，例如：一杯水、一條蛋糕、一碗湯、一瓶酒、一架鋼琴、一朵花、一叢草、一匹馬。這些生活上的單位量詞，對學生而言，不成問題。不過倒是有點兒像｢語文課｣教單位量詞(這是我的刻板觀念吧！)。

    在單位量詞之後，今天的數學課帶入了一個新概念｢切蛋糕｣。老師拿出教具一個正方形板，又拿出一個長方形，要孩子們猜猜看幾個一樣大的長方形，可以組成一個正方形。在只看著一個長方形的情況下，孩子不太容易看出來，老師巧妙地把正方形疊在長方形之後，孩子們就能明顯看出大小。老師就這麼做了幾次，孩子都能看出是兩份中的一份(1/2)、三分中的一份(1/3)。

    後來是｢切蛋糕｣，老師拿出與正方形大小相同，但切法不同的透明片(上頭有將正方形切二份、三份、……的直線)，將切兩份的透明片擺在一個正方形上面，孩子看出蛋糕被切成兩份；

又將切四份的透明片用另一個方向擺在正方形上面，

孩子看到原本被縱切成兩份的蛋糕，再橫切四份，最

後變成八份。老師在白板上記錄：2+2+2+2=8。

    就這樣，老師又舉了以下幾各例子：切三份、再切三份是九份(3+3+3=9)，切四份、再切兩份是八份(4+4=8)，切十份、再切十份是一百份(10+10+10+10+10+10+10+10+10+10=100)。有點難，孩子並不非常了解，但他們對於孫老師今天用的教具十分有興趣，課後還來玩了老師的教具，樂此不疲呢！看來是對數學不害怕的。

    今天的課程中，記分板顛覆了我既有的想法，教具(透明片)也設計得很巧妙，可以輕鬆的分，且相當容易看得出來。

數學思維                   湘如     9/24/2010

    今天AB組的數學課進行的步驟不如以往，之前都是先操作，操作熟練後，再做學習單。一上課，老師就把學習單發給學生，而且這學習單比之前還要難一些，孩子們一拿到學習單，多少知道今天不是太輕鬆。

    前幾天研究課剛剛學會處理資訊的六種技巧，在孩子們忙著把剛發的學習單放進資料夾時，老師拿出教具箱，請定軒與佳婕利用六個技巧中的｢分類｣技巧，把箱子中的教具依照｢一樣、不一樣｣分出來。定軒和佳婕在操作時，其他孩子們忙完整理資料夾，安靜地坐在座位上觀察和等待。

    經兩位孩子整理出來的結果，箱子裡一共有4個千(方塊)、55個百(片)和11個十(串)。千(方塊)與百(片)中，有珠珠和木塊的材質上之差異，孩子有把兩種材質分開疊放，但最後仍依照單位大小，把不同材質分在同一類中。(我想之前的課堂中，老師可能已把｢不同材質，但數量單位其實是一樣」的觀念，先給孩子預備了。)

    分類完成，接下來孩子們進行的是比較困難的學習單部分，老師請孩子依照千、百、十個有幾個填入學習單上的祕密武器中，老師同時在白板上一一呈現。

    上一節的操作，老師讓孩子每逢十就換成一個新單位，今天老師讓他們累積到最後，由於秘密武器中每格只能填一個數字，若格子中有二位數以上就產生進位的情境，孩子們必須把多餘的數字進到前一格。其次要把進位的數字與原有數字合併，再把沒有數字的空格補零。

    第二張學習單，內容是之前有提過的｢元、角、分｣。同樣不操作教具，要孩子們先試著在秘密武器上，依照題目問的單位｢落下小數點｣，這個概念在之前的課堂上，孩 子有學過，今天老師目標讓他們使用秘密武器作答，孩子慢慢地發現其中的模式。依照題目所該填入的數字，老師都已填好，孩子只需要找到｢問的單位｣，落點、補零。其實這秘密武器我之前也都會教學生，我也知道有許多老師在教單位換算時，都會補充整裡給學生，但是一般學校學生並不熟悉使用這工具的技巧，常會不知到哪裡該點小數點，也常會忘記補零，致使答案錯誤。我現在知道，工具是好的，是不懂得如何使用；老師沒有真正教會孩子技巧，孩子也沒時間去學會使用這個好 工具。

    之前觀察老師教學，我以為老師在教小數，也會想說低年級的孩子能真正懂小數嗎？現在才明白老師的用心，是要孩子在學進位概念時，也把重要的，使用秘密武器的招式給熟悉，怪不得老師的學習單上常會出現技巧：我會…。

    數學學習有操作經驗與抽象思考。孩子在動手操作時，可以直接看到結果，他們只需要說出操作的結果。面對學習單或是考卷時，是讓孩子進入抽象思考的情境，如果孩子不是完全理解，就可以看出那份不確定。一般的數學教學都是在孩子看似會做的狀況下假設孩子會了，當應用問題出現時，沒有徹底理解的孩子就會被困住，這是沒有建立數學思維的緣故。

為了測試孩子是否真正理解，今天老師刻意這樣呈現，孩子們寫學習單時，果然有點不太確定，尤其是A組的孩子。因此，老師特別花精神與時間在陪伴協助A組孩子完成學習單，確定每個孩子都會為止。

課堂插曲：今天見家蓁關心佳婕削鉛筆的狀況，她溫和的口氣、真誠的態度，讓之前劍拔弩張的兩人關係緩和順暢許多。見佳婕因為沒辦法順利削鉛筆，而無法寫學習單，體貼的家蓁還主動把自己正在使用的鉛筆借給佳婕。家蓁好棒！很會照顧人喔。