雅歌私塾的部落格

一眼看穿開根號     雅歌數學       孫德珍

這幾天為祺祺示範教學，幾位小朋友加入一起上課，早上我們用花片玩正方形的遊戲。
我讓孩子們排出正方形，從一個1，兩個2，三個3，一直排到十個10。孩子們興沖沖地排著，手上拿著東西操作，通常就不太容易累。
我讓孩子透過花片用數學說故事：
面積是1的正方形，邊長是1。

面積是4的正方形，邊長是2。

面積是9的正方形，邊長是3。

之後我轉換說法，把邊長與面積的順序交換，讓他們熟悉其中的規律。

邊長是4的正方形，面積是16。

面積是25的正方形，邊長是5。

我到白板上把這段話用數學的語言寫出，要孩子用中文唸出來--我用4個圈畫了一個正方形。
ΟΟ

ΟΟ

我指著左下角的圈，讓孩子往上數，邊長是2。以此類推，對於圖畫有了感覺。然後我用符號表示，請孩子繼續翻譯。

√16= 4 (面積是16的正方形，邊長是4)

漸漸地，他們已經很熟悉如何解正方形的面積，從小一到國一每個孩子都一再向我申明：他們真的會！

 我在白板上出了題目讓他們解，孩子居然都做出來，我告訴他們：這叫做開根號，這是國中程度，孩子們臉上現出不可思議的表情，伴隨著成就感的笑容。

我問：還要繼續嗎？雖然知道我會越來越難，他們還是很想繼續。昨天學過數學的四門科目：天文、地理、算數、音樂。昨天用音樂驗證過數線，今天我要他們用幾何證明開根號，讓我一眼看穿答案。

我給孩子方格紙，讓他們用點點貼紙貼出正方形，他們都可以勝任。

我出了一個題目。

√10和3的關係是什麼？相等？較大？較小？

√8和3的關係是什麼？相等？較大？較小？孩子們一眼看穿√10 >3

再讓孩子驗證√8和3的關係是什麼？相等？較大？較小？

孩子們一眼看穿√8 < 3

連續做了幾題，孩子們很高興自己可以透過操作理解開根號，並且可以比較根號的大小。

祺祺老師告訴我，他從沒想過開根號可以這樣教，當年她考高中就是因為會解這樣一題數學而得到高分。看到我讓小朋友學開根號竟然如此輕而易舉，而且從小一到國一都一起學會，他用嘆為觀止來形容。

這幾天，我們用花片與撲克牌玩了不少東西。透過用花片排數線，一眼看穿比例的關係，了解分數的乘法與除法；透過撲克牌玩分數，釐清分子與分母的意義，每一次都透過具體的圖形畫面建立數學思維，所以能夠體驗抽象的概念，而這就是雅歌的秘密武器，讓孩子積極的浸潤在成就感中，對數學充滿樂趣與熱情。

雅歌數學期末考(CDE組)

一、是非題：對的打○，錯的打×

五色鳥班同學一起去聽音樂會，根據他們的座位填入座號

1.___郁潔說：我的位置是12號，號碼最小，票價比較貴， 不公平。

2.___彥均說：不對！這是數序，是第幾個位置，不是共幾個位置，不能比大小。

3.___舒雅說：每個位置相差兩號，筠涵在我旁邊，26-2＝24，我是24號。

4.___奕全說：我們是雙號，我是第6個，12+2×6 =24，我是24號。

5.___震平說：這是平均問題，(28-12)÷2=7，我們少了一個位置。

6.___筠涵說：不對！這是植樹問題，樹比間隔數多1，一共有8個位置。

7.___韋翰說：我在郁潔後面，12+2=14，我是14號。

8.___敬宸說：筠涵的票比較便宜，應該是因為他的位置比較靠邊邊！

四則運算，依照快、狠、準的祕密武器列出算式，不用直式計算結果。

用撲克牌合併或抵銷，解下面算式

用雅歌數學的祕密武器，一眼看穿下列單位，根據指定單位以小數列出

品格題.

___1.僧多粥少這句成語不適用下列哪一種狀況？
a.只有1鍋粥，吃得人越多，每個人得到的越少。
b.分子是1的時候，分母越大其值越小
c.玩撲克牌的時候，點數越大的需要越多張
d.不同分母的分數，分母比較大的就比較小。

___2. 玩撲克牌的時候每人的牌都不同，高手能夠取人之長補己之短，指的是
a.學會魔術，偷偷把自己的牌變成好牌。
b.學會數學思維，知道自己缺的是什麼牌，等待別人拋出他多的牌。
c.學會揉麵，把自己的牌拉長一點，不要被看到。
a.學會禱告，請土地公給自己好運。

___3. 在方格子上設計文字，用的格子越多，設計出來的字就越好看，這個例子告訴我們：你的心中有多少人，影響你的
a.格局。
b.權力。
c.財富。

___4.下面何者不是高手的習慣
a.事前預備事後收尾
b.人定勝天
c.隨時保持自己在最佳狀況
d.認出大師並且認真跟隨

___5.專注就是：
a.知道在對的時間、對的空間做對的事。
b.對於自己喜歡的東西很認真學習
c.上課時即使發呆眼睛也要看老師
d.專門提醒別人要注意

___6.一眼看穿就是
a.看懂問題、抓到重點
b.看道別人的答案和自己是不是一樣？
c.看出老師想要什麼答案？

後生伊藤                           孫德珍

大班的伊藤(ethan)來自台中，第一天上學時，他黏著媽媽不放，最後只好爸媽一起陪他到學校，心想大概要陪一天，哪知我們正在討論他的分離焦慮要怎樣處理，他已經跟著五年級的哥哥要去打籃球了，我要他向爸嗎說再見，他回頭說了再見，開開心心的離開，留下錯愕的一群大人。

孩子們雖然都很有個性，時有爭執，但是對於伊藤卻是毫無嫌隙，誇獎有加。伊藤資質聰明，很多東西一講就通。他也會主動來跟我要任務。

英文課的時候，他看我教國中生名詞，主動跑上來當助理，把名牌貼在文字上。語文課的時候，他坐在旁邊默默地聽，大孩子討論的時候，他也隨和地參與。體能課的時候，他的投籃讓大家刮目相看，所有人都喝采，簡直不敢相信，他只有大班。

今天定哥任命他當衛生局長，負責確認大家飯後有沒有刷牙？今天飯後，孩子們很認真掃完地，他拿著牙膏、牙刷，大家就跟著走了，沒帶牙刷的人有點慚愧，他一句話也沒說，只是以身作則，不計別人的錯。

刷完牙，他來要數學功課，我就給他一些題目。昨天讓他用算盤作連加法，他在算盤上慢慢數，慢慢把答案寫在學習單上，做完還要改分數，改完分數還要新題目。今天他來向我要數學工作，我先給他亂數加法，他完成了。我因為在指導其他人帶分數與除法算式的關係，他也想要做帶分數，於是我用他來向其他人示範。

我給他一張紙，出了八題除法，我讓他用符號操作，畫點點平分，看看可以分幾行？剩幾個？

例如：17 ÷ 2 =？     我讓他在紙上畫點點，一行兩個，繼續畫到17個。

ΟΟΟΟΟΟΟΟΟ

ΟΟΟΟΟΟΟΟ

再用筆把直的一行一行劃掉，得到8行，剩下1個

ΦΦΦΦΦΦΦΦΟ

ΦΦΦΦΦΦΦΦ

操作過一次後，我教他怎麼寫答案？

17 ÷ 2 = 8…1

他很快就掌握了要訣，飛奔而去，在自己的座位上要把其他題目做完。

一會兒，他做完了，我改一改，他又要題目，我再給。因為今天重新分配家族為紳士家族與淑女家族，伊藤得分讓紳士家族很得意，淑女家族認為他們沒有小的孩子，得不到這麼簡單的題目，很吃味。我說你們也可以做，他們欣喜若狂，拿著題目影印，分給大家。前幾天因為打籃球所有人甘拜下風，每個孩子在美的分享裡都寫伊藤好棒！今天伊藤不小心又掀起一陣數學的旋風，所有人都欲罷不能。在數學大PK之中，我順便整頓了幾個人不夠紮實的地方，趁機加以補強。阿佩的乘法表剛剛完成，超過20的倍數被定哥檢查出來有錯誤，她只好忍耐地重新算過到底是哪裡不對？前幾天她可是安靜地拿著算盤在一邊猛加，現在發現一個錯誤會連累後面的所有數字，開始不平。

我陪她做了一會，她開始比較清明了，回答越來越快，等她完成了，我告訴她：「等一下教你用一種方法找合數，如果你的乘法表有錯，就很難得分了。」這時候，他突然頓悟，哥哥幫他抓出錯誤，實在是她的福氣。

果然她接下來找合數很輕鬆、愉快。她不只是算出結果得分，還在修正乘法表的錯誤這件事得分，他很意外，也很驚喜。我相信這個會思考的孩子，今天的經歷都很不凡，長大不少。

伊藤的旋風把另外幾個人都捲進來了，大家開始計較為什麼自己的練習比較少？我就開始給課本的習作，這時候伊藤回來說為什麼他沒有習作？我很鄭重地說：「伊藤，夠了！你該睡一下了。」昨天沒有午睡，今天的午睡也飛了。

質數與合數(下)—雅歌數學                孫德珍

 這幾天，孩子在尋找質數時，對於有些一直找不到因數平分的數很有感覺，我想我不必解釋什麼叫質數了，恐怕某些怎麼都除不進的數字化成灰他們也認得了。

之前用棋盤平分的畫面，現在我讓孩子用數學語言表現。
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16 / 2 = 8

紹鎧說他可以直接列出因數，於是從1開始排列。

1 = 1
2 = 1,2
3 = 1,3
4 =1,2,4
5 = 1,5
6 = 1,2,3,6
在旁安靜觀察一會的定軒，已經找到其中的道理，拿起一張紙開始加入陣容；家蓁還沒法心算感覺因數，但她想要參與這個活動。我告訴她：除法不熟就要從乘法整頓，給你一個不同方式，保證你可以解決，但是要做一點工哦！她爽快地答應。

我將方格紙放大，剪貼出一張比A3大的方格紙，讓他去完成乘法表。我也給亮羽、淳縈各一張，但大小因程度不同。小亮心還沒學乘法，也要挑戰，我讓她用連加的方式完成同樣的表格，她毫不猶豫地填上數字，我預感她很快就會把九九乘法理解。在雅歌，背九九乘法不是硬背，而是靠理解後的熟練，操作多了，自然得心應手。

我準備花一個星期讓孩子繼續玩這個探索，當乘法表完成，孩子們可以從倍數中檢視質數，也可以透過倍數的位置，在二維空間找出它的因數，繼續完成尋找因數的作業，換一個方法操作，讓自己更熟悉倍數、因數。而低年級對於能參與這個高年級程度的遊戲，懷著崇高的敬意，也將使他們因而更愛數學。

透過操作，沒有解不開的數學問題，很多孩子常常以為數學就是一直想，而他怎樣都想不出來，解題是需要樓梯的，老師需要適時給不同的樓梯，讓孩子找到系統，建立數學思維，而非苦苦想出答案。

質數和合數(中)—雅歌數學課     孫德珍2013

昨天的質數功課，孩子們本來覺得沒有問題，晚上有家長報告，寫到很晚還寫不完，只好上床。今天一早到校，就有孩子希望給他時間完成，我欣然答應。

孩子們說昨天在紹鎧家參加團契聚會，所以只能寫一些，我說今天可以寫完嗎？他們覺得應該可以，於是我陪著李老師和亮心練琴，他們安靜地拿起畫筆，開始埋頭畫點點，繼續找合數和質數。第一節數學課了，我讓孩子們繼續奮鬥，他們開始有一些發現。孩子們很專注，也不要別人說話，以免一分心會忘了數到多少，又得從頭數起。

慢慢地，有人發現因為有一個系統，所以就算遇到中斷也不必從1開始重來，因為裡面有倍數加餘數就好了，這就是建立系統的好處。我問孩子；「不是都說很簡單嗎？」孩子說：「數字小的時候很好排呀！但是大了就很麻煩，不是難，是麻煩，看到眼睛都快快花了。」他們沒空理會我，繼續忙著解答。我還在等他們什麼時候才會投降，想要換另一種方式，但是孩子們雖然抱怨著還有很多，卻還是不捨得放棄。

我問：「如果點很久很累，有沒有什麼其他辦法可以快一點？」紹鎧說：「用除法是一樣的，寫個式子就可以知道有沒有餘數。」定軒也同意用算式比較快，但是他們仍然埋頭苦幹，沒有跳槽的意願。我說：「我可以接受剩下的部分用算式解決。」紹鎧立刻搖頭：「我喜歡用點的，這樣比較有趣！」一會兒，他又說：「超過200就不能用點的，要用算式。」偶而會有孩子表示眼睛需要休息一下，但還是很快回來繼續。

今天孩子們發現：即使是國中程度的問題，如果能夠化為操作的方式，連小一的孩子都解得出來，所以動手操作就不會有「想不出來」的窘境。這一次作業，出乎大家意料之外，小一的亮心最快完成，因為他的數量比較小，大哥哥雖然有經驗，有能力，但操作起來不會佔便宜。

孩子們雖然一個問題解了整整兩天還看不到盡頭，但仍然堅持繼續做，因為在任務中享受到發現模式的美。有些數字一路探索就是分解不掉，孩子們開始感受到質數的頑強，要找到一個數怎樣都不能分解還真的讓人讚嘆！那種追求真理的熱忱開始醞釀在小小心靈中，讓我很欣慰。

為什麼要學數學？我不再需要回答這樣的問題，因為我相信他們已經看到數學之趣在於能夠發現模式，數學之美在於能夠進入抽象思考。

而這只是剛開始！

質數和合數(上)—雅歌數學課      孫德珍2013

開學第四天，終於上了數學課。

我讓孩子們探索質數：從小一到小五，每個人都可以學。我讓孩子分兩組，一組黑棋，一組白棋，拿出我給的數量，然後試著平分。先把棋子排成一列，再把棋子排成兩列，三列，看看會怎樣？我給一個數量13。孩子們用彩色筆在方格紙上開始點，很快就發現除了1和自己以外，不論怎麼分都不能平分，總是有餘數或是不夠。

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接下來，我讓每個孩子自己一組，小一亮心和小二淳縈顯得有些擔心，我說我會給不同年級不同數字，他們才放心。

我給亮心1-19選一個數字，她毫不猶豫地說：「1。」我暗示已經分程度，在自己的程度中還有不同難度，分數也會不同。他立刻要了19。其他人依序要了一個數字開始忙碌地塗起來。我看到有人會標出被除數(幾列)，有人憑感覺，結果發現亂了陣腳，就塗塗改改，看得眼花撩亂。

我問孩子要不要重新拿一張紙？他們都想要重來，所以我提醒：怎樣在當中建立一個系統？示範了一下，從1開始，先寫出幾列，再依照幾列去分，一個一個塗出來。有系統果然比較不會混亂，大家開始進行後，有人發現今天的單元是質數、合數，開始問什麼是質數、合數？

我舉了一個例子，以12為例，開始把棋排在白板上。

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我把可以整除的分法畫一個方盒子框起來，我告訴他們，可以像這樣用方「盒」子框起來的叫做「合數」，

除了1和自己以外都沒有辦法平分的，有餘數的，叫做「質數」，要把剩下的「擲」出去才能平分。

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由於先操作過了，孩子很快就認識了，又忙著去探索能不能平分了。

紹鎧的數字很大，需要把好幾張紙貼起來，有人也覺得自己的紙會不夠，所以又拿了一些紙回家繼續完成。

李老師是個認真的學生，他每天一早和學生同時到校，帶著他的小提琴，很認真地練夾琴，孩子們已經把他當一份子。今天練完琴要上數學課，他驚訝這麼快就下課，還想多留一會，於是和孩子一起上數學課，分組的時候，孩子就有人想要和他一組。大概是沒上過這樣的數學課，他興致很高，拿起筆來，他就像在畫畫一樣，不知道他會不會認為我在數學課上用教具當畫筆？今天回家的功課是完成這個質數探索，亮心回家前就第一個交卷，小學一年級，就可以有這樣的經驗探索質數，還真幸福！

基測練習      美的分享  張菀昀

因為這學期數學課本的進度都已經教完了，今天老師讓我們做基測練習，從題庫中一口氣考了42題，了解我們的程度。

老師給我們試題，讓我們用它做預習，先考考自己哪裡不會，再研究如何解題？應用問題考我們思考能力，剛開始覺得42題很多，題目看起來很複雜，但是我們學過用視覺化的方式呈現：數線、表格、座標，所以就很清楚知道題目要的是什麼？一旦理解題意，就覺得自己可以解出來了。

這裡面有些題目我看來很簡單，覺得是送分題，老師說那是因為我們已經對概念很清楚，所以一看就懂，概念沒建立的人看了還是要想很久。

老師說一天之內可以完成，表示我們的程度不錯，老師會給一個考試，檢查我們預習的成果。

我喜歡這樣的學習方式，不用一直讀課本，又可以體驗一下基測的方式。

沙坑裡的頓悟—雅歌數學課           孫德珍

今天帶著紅貓頭鷹到沙坑，我們比賽玩沙。

第一項比賽是用自選的容器(圓錐、角椎)裝滿沙做造型，再將容器反過來蓋在沙上，觀察容器頂部的沙有沒有陷？孩子們很忙碌的挖沙、倒沙，常常容器一翻轉沙就漏了，體會到面對一盤散沙的挫折，思考怎樣加水來增加黏度？有人找到底部封住的容器，發現外頭有規範就不會漏，他們慢慢研究出方法蓋住容器的開口，再翻轉過來，孩子們認識剛才裝沙進去的開口倒過來如果有一個底固定，沙就不會流失，對「底」有感覺。

第二項比賽是在最快的時間將沙裝滿容器保持沙不流失，這次孩子們很快就完成了，他們清楚地看見，開口向上，既好裝、又不漏，因為有了容器的規範，沙就穩當的塑型。

第三項比賽，必須用兩個容器，裝滿沙後互相蓋住，保持沙不會漏掉。孩子們嘗試的當中，很快發現，兩個開口大小一樣、形狀一樣的容器，接在一起才能頂住沙不漏掉，所以開始找「志同道合」的兩個容器一起撐住一盤散沙。

因為是比賽，所以中間遇到有糾紛就需要喊停，因為是比賽，所以要求孩子們優雅的參賽，尊重沙坑，後來阿卉心情不好，我讓他退出，等心情變好，沒想到他居然願意拿耙子來將沙坑中的樹葉掃掉。

第四項比賽讓孩子量出200CC是多少？每個人容器都不一樣，所以就用不同方式去湊足200CC。最後一關是回收容器，清洗乾淨，孩子們研究這一堆容器形狀差異甚大，要怎樣裝才能省空間？

將來有一天，當他們長大，面對一個團隊，希望他們能找到一種共識，將一盤散沙凝聚起來。

將來有一天，當他們教導孩子或是帶領部屬，在寬厚的愛中，希望他們記得保留一個底線，才不會寵溺無度。

將來有一天，當他們有夢可築，希望他們記得尋找志同道合的同志，才能夠同舟共濟。

將來有一天，當他們創立事業，對於金錢管理有概念，不論容器多小，積少成多，不論容器多大，不能揮霍，才能夠化虧為盈。

對於一個有智慧的人，生命中的一個小小經驗，都會在困頓時產生頓悟，找到出路，這是為什麼雅歌的課程目標是從知識、技能與品格三項來設計的。

我親愛的小貓頭鷹，今天的數學課，你們有沒有學到這樣的品格呢？

數序和數量—雅歌數學課         孫德珍

今天數學課搬到庭院，孩子們在野餐桌上課：小二開始學減法退位，小一要學數序與數量。

我讓孩子在百宮格上擺了一些棋子，讓孩子不可以用數的，一眼看穿是多少？

「這是12，因為有1個十有2個一。」練習幾次後，孩子學會模仿造句：「這是XX，因為有X個十，X個一。」
我再給了一個數量，要求孩子不能數，要一眼看穿。

孩子很快回答：8，我問怎麼看出來的？回答：10少了2。

接下來，我開始要求孩子做不需退位的減法，例如：18-7。

孩子們將個位數的8推出7，一眼看穿剩下11。

我調整了棋盤，再給他們一題：11-8。

孩子們在百宮格上把8推到第一列，變成這樣。

我讓孩子給答案，並說明是怎來的？

孩子說：這邊有1，這邊有2，2+1=3。
我問：題目是11-8，哪裡來的2？孩子說是10-8=2，我請孩子將式子列出來：
11-8

=(10-8)+1

=2+1

=3

我陸續出了幾題，二年級很快地發現模式，想像買東西時零錢不夠，就會用一張10去找開。他們也發現(10-某數)就代表找開。

我讓孩子用百宮格解題，讓他們對減法的退位建立數學思維，預備將來更大的數出現時，他會有經驗，向十位借1當作10再去減，並且記得把零錢加回來。

之後，我在譜架上放一條數線，上面放八個黑棋，但是不讓孩子看到。

我拍了八下，讓孩子聽脈動，並請他們模仿我的數線拍回來。孩子們拍了，並且知道是拍八下。我問：是數線嗎？他們說是！我問：數線有起點、有方向、有單位，證明一下。孩子說：有開始(起點)，一直拍下去(方向)，有八下(單位)。我問八下都一樣嗎？他們證明：脈動是音樂的數線。

我在脈動上作一些調整，拿掉三個棋，請他們聽我拍，再驗證譜架上的數線是否相同？

孩子們探索一會，終於決議2、4、8三個棋不拍。我告訴他們：脈動如果有聲音有安靜，就變成節奏。

我又創作一條音樂的數線，讓孩子發現。

我把第3第4個音拍得比較重，孩子也跟著拍，發現是第3和第4個音比較重。我問這裡數線可以列算式嗎？孩子很快地找到2+2+4=8

我問有哪些音拍得比較重？

他們說：第3第4。

我問：列算式告訴我，第三加第四，一共有幾個音？

淳縈很快地舉手：3+4=7。大家也跟著說是7，並且列出算式3+4=7。
我冷靜地請他們上來證明哪裡有7，我必須看到7。

孩子們因為常被我要求用數學語言表達，所以對於能夠提出3+4=7這個算式，自豪全寫在臉上，但是突然發現無法證明，開始很疑惑怎麼會這樣？大家陷入沉思，但是都不肯改變答案7。

我一再問：「有幾個和第幾個有什麼不同？」我問：「誰在家裡是老二?」結果亮心和我都是老二。

我說：「2+2=4，所以我和亮心共有4個人。」他們搖頭，因為擺在眼前的事實我們就是兩個人。現在他們發現了：
第幾個無論排在哪裡都是只有一個。

這個天大的發現，讓這堂課充滿歡欣，我讓他們對數序和數量更有感覺。可愛的紅貓頭鷹，錯得那麼有自信，對得那麼有概念。

數學教育

孩子從國小進入國中，最好檢查一下數學方面是否已具備帶得走的能力：學數學必須會什麼？

小學畢業前:
◎熟練小數與簡單分數的四則運算
◎利用常用數量關係解決日常生活問題
◎能認識簡單幾何形體的幾何性質
◎能報讀簡單統計圖形並理解其概念

國中畢業前:
◎熟練數的四則運算
◎經由代數式的建構與演算，將所學習的代數能力應用於其他主題的數學式推演
◎能經由簡單平面圖形性質的學習，建立抽象思考與簡單推理的能力
◎能經由簡單資料分類整理與觀察，建立基本的統計與機率素養

國小國中的銜接
◎數與量：引進負數、加強混合四則運算能力(整數、分數、小數)、最大公因數、最小公倍數、異分母分數的加減
◎代數：文字符號代表數的意義、代數式的列式與計算
◎幾何：幾何圖形性質(觀察、操作、理解)
◎統計：有序資料(觀察、整理、分析)表單的頂端

晚秋的數學教室                           孫德珍2012

早上準備花一點時間整理數學教室，沒想到四節課都黏在那裏。

先是整理教具，搬家後一箱一箱等著開封、歸位，不同的空間，不同的規劃，不同的學生將使用，一面整理，一面想著孩子看到的表情。

隔壁圖書室孩子們在跳芭蕾，我一面整理一面聽他們上課。這樣從容的時光，我的許多靈感就來了，開始想如何在不同單元中讓各種教具成為玩具：如何在同一單元中，讓不同程度的孩子有各自的領悟？

紹鎧最近對數學很投入，我讓他先預習，再陪他訂正。今天讓他試平行四邊形和三角形的面積，也許是這一刻能得到我全部的注意力，他是這樣全神貫注，一講就懂，在解題過程中不疾不徐，讓我刮目相看，我驚訝他的理解力這樣強，一本習作已經快要做完。於是師徒倆約定，確定都會了，我們就挑戰下學年的程度，讓大家刮目相看。

一會兒，定軒跑來了，問我他現在空堂可不可以做數學？我欣然以紹鎧的題目讓他動手操作，他發現平行四邊形的面積是底乘以高，三角形的面積是底乘以高除以二。我讓他用幾何驗證，他很快就證明了，對於自己還沒學過的素材能夠發現公式，實在是一件很美妙的經驗。他一堂課自己靜靜的研究數學，下課時向我告辭去上別的課，沉穩篤定的他，果然長大了不少。

在我終於把家長協助做的分數卡整理在一個籃子裡後，國中生已經就位等著上課。由於他們這一週已經把第二章全部的習作完成(大約四週進度)，我讓他們玩分數卡，孩子們很興奮。

我請他們用兩片正方形的分數卡解題， 1/2減1/8是多少？我邀他們當數學家，用雪花片呈現數字，讓人一眼看穿。菀昀很快將兩張卡交叉，分數卡出現2*8的分割，他將1/2放入8片雪花片，1/8放入另外2片不同色雪花片，再將雪花片排成一排數線：8的上面有2片重疊，所以8-2=6.

孩子們很開心繼續作題，我在黑板上寫了一個代數式1/a - 1/b=b/ab - a/ab= (b-a)/ab。孩子們觀察許久突然恍悟，剛才做的題目原來是照著這個公式進行的，他們也在當中發現通分的道理：原來學最大公因數、最小公倍數的原因是為了要解這個…。下課時，我讓他們回去預習第三章，他們答應了，好大一個挑戰，但是想到這樣國中數學第一冊就上完了，他們就打起精神超越自己，

我想要下課，紅貓頭鷹卉帶著小一的孩子來了，一來就撒嬌要做題目。我給他們每人一張電腦報表紙鋪在桌面，讓他們在上面用雪花片排數線，作加法、減法。我讓他們用兩個顏色呈現被加數和加數，超過10要排在第二行。由於他們一直要題目，我只好在黑板上用百宮格讓他們去排，並趁機修正進位的概念。卉最近很喜歡我陪他做數學，放學後會樂意留下來，而只要我陪著他，他就不再放空，一步一步開始學。這是一個讓我心疼的孩子，但願雅歌人能陪他走過生命這段噩夢，重拾快樂的童年。
最近還有兩個小男孩開始安定下來了。去年這時，我們為小丁丁非常頭疼，上學期開始看到他改變，一點一滴都是極大的心力交戰。多少次都想放棄，因為我怕老師真的負荷不了就會走人…。我也擔心：離開雅歌，小丁丁恐怕沒有希望，我常是含著淚想著他和許多不能參與雅歌的孩子。許多孩子原來可以不必被放棄，如果我們的教育有夠深的愛，如果我們的學校系統可以更有競爭力。然而，我能說什麼？我連一個小小雅歌都辦得這麼辛苦，怎麼去幫那麼多需要的孩子。
雅歌的數學課允許每個孩子有自己的進度，之前如飛的小丁丁現在不僅可以坐下來，而且會黏著我要給他更難的習作，他還會看學長學到什麼程度，一再來向我要習作。而他不會的，就過來拉著我的手，先教他…，他一定要學會。我最近發現，上個學期的開發，這群孩子現在開始開竅，許多人開始可以自學，而雅歌竟然有很多孩子是那樣充滿潛力。

耀也是讓我刮目相看的。他開始比較能靜下來，開始願意聽老師說，開始比較聽得懂，開始進步。每一次他說他懂了，我都很感動。我相信：是雅歌的每位老師努力地抓住每一堂課，讓孩子沒有飄走；把握每一堂空堂，給需要的孩子補救；而這學期我看到更多家長的信任與投入，支持系統出現，孩子就不一樣了。
在雅歌，每個人跟自己比，沒有人被放棄。能做到這樣，所付出的心力豈是外人能懂？願意這樣做的人，為什麼在台灣不能被珍惜？

晚秋的數學教室，在冰涼的寒意中，讓我們驕傲地開始豐收。

融會貫通--雅歌數學     孫德珍2012

開學以來，三位國中生在我溫柔的堅持下，盯緊學習，今天我開始看到他們的改變。

今天數學課為國中生整理第二章，每一題都要他們確定真的懂為什麼是這樣做？他們也認真的思考，在解題之餘還要將發現整理在筆記中，一條一條數學思維就這樣慢慢歸納下來。孩子們捧著心愛的小記者筆記本，感覺像開始獨立研究的大學生，感謝家長們提供的筆記本，讓我們的孩子用得很優雅。

整理完第二章，我告訴孩子們：國一上學期的數學一共有三章，我已經教完兩章，剩下的一章，如果這兩章他們都真懂，就會很快學完…。孩子們突然覺得有點恐怖，覺得雅歌學得超級快，學完怎麼辦？昀篤定的說：繼續往下學就好了。

我再度問：你們真的有懂嗎？他們都點頭，雖然解題當中也犯錯，但是從錯誤中更清楚的釐清為什麼是這樣？

我告訴孩子，我希望他們將來記得的，不是我很快教完，而是我怎樣盯住他們從不會學到會？更重要的是，每次解題時，我讓他們停下來思考其中的道理。我每次都告訴他們：你們在國小時學的是知識、技巧，這只是知其然，可以稱為算術；到了國中要學的是理論，叫做知其所以然，算術中的抽象思考才是數學。學國中數學，如果沒有邁入抽象思考，就會開始覺得數學很複雜，防不勝防，很快就會放棄。

傑說：他的同學在其他國中，才學到第一章，他們一點一點學，可是越來越難，都不會，考得很不好，都很挫折。

我說：我知道，這也是我為什麼這麼緊張，一直要求他們達到通盤了解才放手。因為這個階段很重要，大部分的孩子數學都是從這裡開始不懂，最後放棄…。

教改之後，國中數學常被詬病，有人說是建構式數學害得學生程度低落；有人說是小六沒銜接好…。我一直認為這些都是藉口，是老師沒有找到方法而已。

兩年前，因為雅歌培訓的數學老師走了，我只好接下來，讓不少人側目。我把課程綱要徹底讀過後，發展出一套雅歌數學的系統，特別針對孩子哪裡需要透過操作才能具體理解，透過步驟建構數學思維，發展一系列教具提供課堂上有趣的活動。

開學後，我接下了全校的數學課，一步一腳印，將孩子從畏懼數學變成喜愛數學、挑戰自己更難的程度。對我而言，技巧的建立不在學會課本的進度，而在對數學的浸潤，最終能以數學的思維對自然進行觀察，以數學的語言與世界進行對話。

我也一直在注意進入國中如何銜接，因此我常將國中與國小高年級合上，透過混齡，讓他們學同樣的題材，但是理解不同深度。令我欣慰的是，孩子們越來反應越快，對於沒有學過的東西，常常一提示就懂了，不要我教，自己去解。我看到他們開始享受解題的樂趣，這是何等美妙珍貴的經驗。

有一天，我在上鋼琴課時告訴孩子：你需要建立的是技巧，樂譜只是媒介，你只是在這些音符上展現你對觸鍵的理解，並透過技巧將音樂架構出來。最近我用這樣的說法向國中生解釋課本。如果你彈琴是學一首又一首歌，沒有建立技巧，彈再多年還是功力不深。如果你心裡有技巧，樂譜上每個音符只是一個媒介，你將來什麼都可以彈，而不是老師教過的曲子才會彈。

同樣的，老師只是透過數學課本的題目讓你發現數學的許多模式，如果你只學老師如何解題，沒有了解為什麼要這樣，老師沒教過的就不會，那就沒有真的學會數學。

我告訴孩子，有些知識可以分開慢慢學，有些東西需要通盤理解才能體會。我的方法和大部分的老師很不一樣，因為我每一步都在觀察學生的反應而調整進度。我的目標不在快快教完，而是讓學生擁有一個完整的畫面，知識不會支離破碎；我的隨時凝聚是要讓學生腦筋清楚，釐清迷思，並且有架構的儲存整理；此外，我重視他們在解題時所呈現的品格，如何保持在自己的最佳狀態，需要平日養成好習慣，在井然有序的解題環境中才能追求精確，所有的粗心大意都將在數學課中消失。

三位國中生是最慢進入雅歌的一群大孩子，許多習慣要破除，許多思維要重建，而一個嶄新的學習才開始。這個週末，我挑戰孩子們一口氣將第二章習作盡量完成。菀昀努力完成許多新的功課，已經可以當小老師；泓喬大大的改變，傑森順服的挑戰，他們真的做到了，讓我感動到不行。

我相信，我會是一個不錯的數學老師，也相信雅歌數學將會在這幾個孩子身上大放異彩！三個基督徒孩子，加上一個基督徒老師，一起將榮耀歸給上帝！

定位是一種能力—黃組數學課

以前我上課沒有課本，數學課本是學期間自我挑戰的遊戲。這學期為了教孩子怎麼預習，我向南一書局爭取了教科書，讓他們每人有一套課本。

昨天教孩子們怎麼預習語文課，今天黃組上第一堂數學課，孩子們抱著課本來上課，滿新奇，我請他們按著年級分開坐，三年級的欣儒已經預習過了，真是讓人敬佩，四年級的兩位立刻也振奮起來，要搶在我講之前先看，我乾脆讓他們分開看，告訴我哪裡不懂？出乎意料之外，他們很快就看懂課本說什麼，並且繼續作習作，在有疑問之處要我解說，一講也就懂了。今天有兩位客人正好在旁等待，看我這樣上課可能以為雅歌的孩子吃了仙丹，怎麼這麼好教？

其實我在檢視他們對位值place of value的概念，我給每人一張國語簿的廢紙，讓孩子們在上面做一個定位版，從個十百千往左排到億，再讓他們把數字按照位值寫上，孩子開始看出寫在哪個位值代表有幾個單位，例如3寫在萬的位值上代表有3個萬，這是以文字取代串珠的概念轉移。雅歌孩子經過串珠過程，很快就懂了。

我延伸到小數點的定位，在某一個位值標上小數，孩子們很快就進化了。

有時候孩子不願多想，就乾脆以不懂為由不做，我告訴孩子，不會就要問到會，不要拖延。高手能把團體課上成個別課，省很多學費。這兩天，家蓁勇敢地一通一通打電話向我求助，他要讓自己不會問到會。

開學才兩天，我已經看到孩子們開始把自己定位要當一位高手。定位是一種能力，孩子們你們好讓我驕傲！

從雅歌數學公司談起    孫德珍

黃貓頭鷹成立了雅歌數學公司出產數學習作。每人都是工人，每天出產一份習作，工資每天100雅歌幣；成品達到滿分的工人可以升格為品管員，每天工資200雅歌幣；品管員具有細心、負責的品格者，可以升格當經理，每天工資300雅歌幣。品管員要檢查組員的產品有沒有錯誤，從解題的三步驟檢查：

1.是否用數線呈現數學思維？

2.列出的算式對不對？

3.答案有沒有寫出正確的單位(名數)。

如果工人不知道哪裡錯了，品管員要一一指導，確認工人理解，並監督訂正，直到無誤。

每天早晨，經理召開主管會議，先研究每天的成品目標，確認完美的樣本，再由品管員檢查工人的成品，並確認修正無誤。

貓頭鷹媽媽的話：

在雅歌，課程一不小心，就會點起一些有趣的火花。雅歌數學公司也是這樣一個例子。

我的數學課沒有課本，只是跟著教育部的課程綱要，知道孩子必須學什麼，透過操作練習，讓孩子一眼看穿，進而發展出數學思維，之後再讓孩子做一些練習。

通常第一個月我會一邊上課一邊觀察孩子的數學性向，發現有那裡根基不穩，就針對該部分做加強，確定他們搞清楚。等到概念教得差不多了，我就開始讓孩子們自己挑戰，特別是別的學校孩子有習作，雅歌只有學習單。

雅歌的孩子拿到習作時，通常會很好奇自己的程度，很想征服習作的問題。通常，低年級孩子會一口氣做下去，像玩遊戲一樣，欲罷不能。遇到困難，有時會問爸媽，有些孩子會帶來問我，我教會他們時，彼此都很開心。

今年我決定接數學，有些家長憂喜參半，因為很多人會怕我教得太難，孩子不懂怎麼辦？可是孩子喜歡我教數學，他們每堂課都是那麼開心，那麼有成就感--先不管我數學教得好不好，我總是可以讓孩子變得願意思考、最後愛上數學。

雅歌有模擬人生，為了讓孩子在生活中對數學有感覺，我的學習單計分以工資看待。每一頁完成，都代表工人達成任務，所以應該得到一份工資(通常是100雅歌幣)。在我的數學課，雇用的員工時有不同：

1.記帳員(會計)：工作是記錄算式步驟，對符號有感覺。

2.收銀員(出納)：工作是數字計算帳目，加減乘除都會。

3.建築師(設計)：工作是幾何空間設計，對形體能辨認。

4.品管員(驗算)：工作是操作工具驗算，確認答案正確。

5.測量員(度量)：工作是測量土地貨物，提供正確資訊。

6.數學家(發現)：工作是觀察發現模式，做出精確陳述。

7.統計員(統計)：工作是進行調查統計，分析時勢所趨。

8.銀行家(貨幣)：工作是規劃銀行貨幣，暢通稅收交易。

在數學學習單上，孩子會檢視自己所學的知識、技能及品格，並且慢慢發現，得到高收入是有規則的：同一份學習單，當收銀員(計算)得工資100，品管員(檢查)得工資200，數學家(發現)得工資300，體會到做事的格局不同，境界也不同。有些人可能會以為，雅歌這樣做，孩子會不會只為錢做事？答案是有可能，但是這都是過程，當孩子因而建立成就感，對自己有著自信，就不會再看錢，而是因為自己要這樣做，雅歌幣是遊戲的一部分，好玩，開開心心上課有何不好？當然，當大家都玩得起勁，也是需要付出心力的—有人寫習作寫到很晚，爸媽都不捨，苦苦相勸才罷休。我也問孩子們：這樣會不會太累？他們居然是甘心樂意的，想證明自己可以「破幾關」。這一次雅歌數學公司是黃貓頭鷹開的，藍貓頭鷹沒有跟進，可能因為他們已經很忙；倒是紅貓頭鷹躍躍欲試，不甘落後，他們不是要求開公司，而是要求一本學習單，讓我啼笑皆非。如果有人覺得雅歌孩子太早成為上班族，失去快樂的童年，那就大錯特錯。雅歌的孩子非常快樂，他們只是在別人無法想像的快樂環境中把數學學好，而他們的快樂，也來自於他們知道自己學得很好。

台灣一度推行建構式數學，主張孩子必須透過操作學習，建構數學思維。這樣的理念是好的，然而推行之時教師無法拿捏尺寸，在僵化的教學環境下搞得人仰馬翻，學生沒有受益，反倒對數學深惡痛絕。雅歌早年曾經用過那樣的教材，一個學期下來，學生對數學很排斥。我於是苦思對策，尋找一條和孩子溝通之路，怎樣讓孩子聽懂，怎樣聽懂孩子哪裡不懂？

數學是一種語言，讓我們與大自然做精確的對話。它是那樣抽象，沒有透過生活經驗，很難讓孩子具體的了解。我發現，只有讓孩子成為學習的主人，才有可能談到建構。於是，我把學習的主權還給孩子，我要講什麼之前，我要孩子的眼睛是發亮的，心門是打開的。我必須先進入他們的進度，才能領他們進入數學這麼美麗的天地；我必須熱愛探索，並且勇於帶著他們探索；我必須學會思考，才有可能教出會思考的孩子。

雅歌數學先讓孩子打開心防，開心的玩數學；再讓孩子開啟視野，盡情的探索世界，當他對世界有深刻的認識，他開始會發現模式，精確表達。建構式學習，用我的理解，就是用孩子所了解的方式去學習，讓他終能以自己的話，說出他的理解。所以我帶著孩子聽故事，在數學史中認識數學的發現、發明與利用，讓他們浸潤於人文的恩雨，因而愛上數學。台灣的建構式數學，沒有講孩子的語言，沒有踏孩子的步調，當然也沒有發現、沒有樂趣。

欣賞雅歌數學，必須先倒空舊思維，去觀察它為何讓孩子那麼開心的學？去了解它用什麼方法讓孩子一眼看穿？去思索它怎樣布局，讓孩子建構這些知識、技能?更美妙的，它怎樣讓孩子透過數學的定理領悟生命的哲理？

用定位板學小數的除法--黃貓頭鷹數學        孫德珍

黃貓頭鷹數學課，今天整理除法，我在白板上設立定位板，讓孩子確認每一個數字在哪個位置。之後，我用小數給題，讓孩子把數字列入定位板，再列出算式，以分數呈現除法。

美金10元，換成25分的quarter，可以換幾個？孩子們大約記得去年玩過這個錢幣遊戲，25分錢是0.25元，可是不知道怎麼用小數寫除法。

我問：「10元要怎麼寫？」孩子們找到個位，寫上10，並且在個位上點上小數點，再寫上25分，為了要回答幾元，他們在個位上標上小數點，變成0.25元。我讓孩子列出算式，10元÷0.25元=?

我請孩子用分數來呈現除法，孩子們列出10. / 0.25 =?
接著，我要求孩子將兩個數的小數點位置對齊，讓它和定位板上看起來一樣10.00/0.25

我再問：如果以cent來看，小數點點在哪裡？孩子們發現數字變成1000和25。 列成算式是1000/25

這是今天的目標，我讓孩子知道小數的除法是怎麼一回事，並沒有要孩子算出結果，反而一直要他們練習列式子，建立數學思維。之後，我出了一些題目讓孩子練習，幾位二年級的孩子剛開始有些迷惑，但漸漸地發現為什麼這樣做以後，就欲罷不能，開始要求老師更多題目。當然，我是有求必應。

我讓大家在定位板上又做了一些度量衡的辨認。1250㏄是多少公升？是多少公升又多少毫升？孩子們學到如何透過定位板來讓自己一眼看穿：如果點在公升和毫升兩個點，讀成1公升250毫升，如果點一個點在公升，讀成1.25公升。經過幾次練習，對小數除法概念漸漸趨於明朗。

當我一再確認二年級的孩子懂不懂？她們都點頭。為了要確認她們真懂，我開始給應用問題。

貓頭鷹媽媽載四位小朋友上學，每一趟耗掉汽油0.8公升，加滿油可以載幾趟？

本學期定軒研究汽車，我向定軒確認馬自達3加滿油大概有多少公升？定軒回答：「40公升。」於是，大家開始計算。

40÷0.8=40.0/0.8= 40.000/0.800

=40000/800

孩子們發現訣竅之後，覺得數學很好玩，一再要求更多題目。
跟課的芳瑜、雅貞兩位老師紛紛表示：這樣的學習方式很不一樣。傳統上就是直接教孩子技巧，根據除數的小數點後面有幾位，就移動被除數的小數點幾位，很多人學技巧卻不了解，往往學得很痛苦。像雅歌的孩子學得這麼快樂，真是罕見。

秦九韶    孫德珍 2012

今天藍黑貓頭鷹數學課，我們繼續探索數學史。從埃及、巴比倫、希臘之後，我們進入了中國，今天認識秦九韶。

秦九韶（1208年－1261年），中國南宋數學家。著作有《數書九章》，其最有名的是現在所稱的中國剩餘定理。有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二。問物幾何？孩子們聽我解釋後，感覺不難，很快就進入狀況，解出來了。

陪孩子學數學是我這學期的樂趣。我喜歡讓孩子探索，開啟他們的視野。常常在他們專注的眼神中分享了發現的樂趣。每次上課，孩子們不知道我要做什麼，不知道下一步我會怎麼做，但是悠閒中探索著，一層一層的發現就這樣揭開了。

這學期因著讓高年級和國中生偶而混齡，讓他們陪著國中生一起學一些東西。透過操作學會的東西(國小)經過數學思維的開展(國中)，孩子們通常都懂。如果可以不受限於教科書的學習方式與進度，我可以讓孩子在更快融會貫通，國中的數學會變得很容易。但是我的教學需要給孩子一段浸潤期，有系統的認識數學的來龍去脈，建立良好的解題習慣，徹底打通任督二脈，這段時間是不能省的。

常常有家長看到孩子帶著習作回去，發現孩子不會就開始教，心中不免納悶孩子到底在學校有沒有學到？其實這是因為他們挑戰超過自己程度的東西，而這些東西往往很快一講就想通了。在雅歌，孩子學數學幾乎都很快樂。

這週的數學公司，紹鎧帶著亮羽和育筠，我說一天寫一張，他卻要求他們數倍之多。而當我問孩子那麼多，可以負擔嗎？孩子還是欣然接受--他們知道不會沒關係，可以來問，因而學會了好有成就感。

今天，紅貓頭鷹也要挑戰了，讓他們主動想要，證明自己很棒，把練習當成獎賞，這是數學教育的重要關鍵。

雅歌數學，上週IXL數學挑戰

最高紀錄

1.林庭葦(紅) 4 hr 19
min 答題 1379題

2.湯皓宸(黑) 4 hr 11
min 答題 462 題

3.游雨諼(黑) 3 hr 12
min 答題 653 題

4.唐家蓁(黃) 2 hr 54
min 答題 729 題

小一的庭葦竟然拿下全校冠軍！他一心要挑戰八年級。

3M—雅歌數學          孫德珍

藍黑貓頭鷹今天學平均數、中數、眾數。
我在白板上列出3個M，讓他們研究Mean, Median, Mode各是什麼？然後以他們的年齡實際做了一下，列出每個人的年齡，請他們加起來，算出平均數Mean，大家都很快做出來。
我請他們把這些數字按順序排，從小到大列出來，找出最中間的一個數，他們了解了中數Median。再請他們找找看，哪一個數字出現最多次？他們找出來眾數Mode。孩子們不到五分鐘就學會了，我給他們看了一段影片，這是美國人為了讓國中生搞清楚這三個統計上的數特別拍攝的，是英文的，但孩子們都看懂了。

我問孩子他們是怎麼懂的，他們很奇怪，明明就很簡單 呀？我說：「如果這是那麼簡單，不至於有人要製作影片輔助教學，你們懂了，是因為切入的角度對了。所以我要你們告訴我，你是怎麼懂的？」孩子們還是覺得明明就很簡單。
我做一個實驗，我讓他們不看白板我寫的東西，只用聽的，我詳細的講了一次(和剛才內容一樣，只是沒有列出，沒有數字排列)，一大串文字，他們終於聽累了，有點迷糊。
我告訴孩子，當一個問題比較繁雜時，我們的腦子沒辦法記很多，一定要用圖表系統地列出來，而且可以隨時參考比較，知道自己在哪裡？這是學數學的秘訣，雅歌數學總是在沒有空迷糊之前先把他弄懂，所以會覺得很容易，即使很難的東西，操作之後，做一個整理，沒有不會的。
為了證明他們都會，我當場發下一張中文考卷，提米和約書亞臉色一變，我說我會解釋，你要看懂模式就會做。我故意要製造一個機會，讓兩個美國孩子考中文版的數學，而且證明他們全部都會。
果真，從10歲到15歲，從國語人到英文人，全部都學會了3M。

雅歌數學公司                     孫德珍2012

黃貓頭鷹成立了雅歌數學公司出產數學習作。
每人都是工人，每天出產一份習作，工資每天100雅歌幣；

工人育筠認真地出產，並且希望能早日升級當品管員。

成品達到滿分的工人可以升格為品管員，每天工資200雅歌幣；

品管員紹鎧細心檢查每一份產品，工人亮羽認真工作。

品管員具有細心、負責的品格者，可以升格當經理，每天工資300雅歌幣。

經理振韋認真地檢查品管員的報告，記錄每位工人的成品。

品管員要檢查組員的產品有沒有錯誤，從解題的三步驟檢查：
1.是否用數線呈現數學思維？

2.列出的算式對不對？

3.答案有沒有寫出正確的單位(名數)。

品管員定軒確定工人家蓁對除法的計算步驟是正確的。

如果工人不知道哪裡錯了，品管員要一一指導，確認工人理解，並監督訂正，直到無誤。

副經理欣儒協助經理紀錄每天的成品報表

每天早晨，經理召開主管會議，先研究每天的成品目標，確認完美的樣本，再由品管員檢查工人的成品，並確認修正無誤。

經理振韋早晨先召開主管會議，與品管員紹鎧、定軒一起先對答案，看看有沒有不同，再與標準答案對照，做出一份模範樣本，檢驗工人作品。