雅歌私塾的部落格

雅竹美的分享_數學課   2012.05.14

人類數學之路踏出第一步的是埃及文明，之後美索文明和希臘文明，也發展出精彩的一頁，但其實東方(中國)也有令人驚艷的數學研究。
中國對數學很著迷，因為他們可以從中找出規律，阿拉伯數字還沒出現前，中國有一個算籌，如下所示，他們使用十進位比西方早了ㄧ千年，但沒有位值，所以要用文字代表。

中國古代重要官員必須精通天文，所以也是數學家，他們必需懂得曆法(天文)，幫皇帝安排事情。中國最有名的建築長城，也見證數學的發展：距離、仰角和原料都需要精確的測量。他們還發明了洛數(數獨)、二元聯立方程式和ㄧ本九章算術。

等式--雅歌數學                 孫德珍

紅貓頭鷹上課前習慣問我：「今天要玩什麼？」課程進行告一段落後，他們會問：「今天有故事嗎？」我可愛的紅貓頭鷹，他們簡直是不知世界上有人上學是無聊的。

今天讓他們玩分數的加法。桌上一堆分數派，讓他們探索一片大的派是幾片小的派？例如：
1= 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4
或是 1= 1/4 x 4

孩子們玩得很開心，操作完一題，就到白板上給自己放一個棋子加一分，再回到座位上繼續下一題。這一來一往，他們就保持有動有靜，順便紓解體內的壓力。

孩子們玩夠了，我開始考他們：「1可以換成幾個幾分之一」這樣的題目。拼拼湊湊之後，他們漸漸發現，分母就是答案：一是4個四分之一，五個五分之一...發現中帶著興奮，帶著驕傲，數學在他們心中激起熱忱。

庭葦改變了，很多孩子都主動幫他，並且知道要用鼓勵的方式和他對話就會有效。平日一直被我挑戰優雅的詠忻和淳縈，今天居然要求和他一組，用好溫柔的聲音鼓勵他，稱讚他。他們相信這樣庭葦就會靜下來聽話--他們是對的，庭葦也進步了，因著這些孩子願意接納。

讓我驚訝的是，最近雅歌的孩子現在會為同學求情了。接連幾次，有人犯錯被罰，全班會代為求情。我驚訝地私下問孩子，為什麼他們不要求公平？他們說：「他沒那麼壞啦。」後來，孩子說：「如果我有一天犯錯，我也希望有人為我求情，所以我平常就該給別人機會。」

一片派是許多小片派湊起來的，每一個善念都為別人生命的等式添一個加號，化每一個境遇為祝福。在雅歌的環境，每個人都可能是別人生命中的貴人，讓我們願意成為那個加號。

最近要求孩子們對語文中的廢話有感覺，不只是上課時不要插嘴，說一些無關主題的話；也不要分心，去回應無關的干擾。不少孩子有了目標就比較容易挑戰自己。另一方面，孩子們每天寫的分享還是很多不重要的內容，一頁分享快用完了，才要講到重點。我決定好好的做一個示範，並陪他們學到會。

數學課為孩子整理單位的概念，為了讓孩子們對度、量、衡的單位有感覺，我曾經讓他們估測水的容量，在容積與體積間領略一下測量的樂趣，他們對於容量突然很有感覺，並且很享受那堂課，一直要求還要再做。

這次，我想要讓他們對長度、高度與溫度有感覺，但是不只是會操作而已，我想要他們透過情境去感覺。「絕頂求生」是一部自然影片，描述在平均海拔5000公尺的喜馬拉雅山上，仍有一些物種可以存活，並因著適應嚴苛的環境，有著生理上的不同特徵。

孩子在看影片的當中，我會在段落間停下來，讓他們學習抓下關鍵詞，並且說出內容。黃貓頭鷹特別要抓的是數學在哪裡--包含地理位置、長度、高度、溫度。

例如1：喜馬拉雅山自西向東橫跨印度北部，形成一條2500公里長的弧線，在海拔5000公尺的惡劣環境，只有在此安家的物種包括岩羊、雪豹、猛禽、人類，這裡所有生物要面對大風、缺氧以及零下低溫的威脅。
這一段文字，當了解夠深入，對海拔5000公尺就有了感覺，每一項說明，每一種物種對環境如何適應的方法，都刻劃出這個海拔高度的環境的特別處。
例如：印度北邊拉達克，冬季時遊牧民族往下遷徙到海拔4000公尺處，這裡太陽下山後氣溫從攝氏5℃降到-30℃，太陽升起氣溫升回冰點以上。

這一段文字描述遊牧民族的生活的艱辛，讓孩子對於溫度更有感覺，孩子們不是看著溫度計上課，做數學問題，而是看到影片，對於這群遊牧民族在氣溫的變化中產生一種同理，明白夜盡天明對於他們是多麼地重要。以前可能會用夜盡天明的形容詞，現在是用得字字令人動容。

例如2：斑頭雁往南飛越喜馬拉雅山，一天飛1500公里，飛到10000公尺高度，飛行速度每小時80公里，順風加倍。在-35℃的天空飛行，翅膀會結冰，斑頭雁不停拍打翅膀，產生熱量，像除冰機一樣。
這段文字我讓孩子討論斑頭雁飛到一萬公尺的高度到底是多高？當他們發現斑頭雁可以飛得比飛機高，是在雲層之上，真是印象深刻。而這樣高的空中，溫度低到翅膀是會結冰的，更讓人驚嘆造物者的神奇。至於斑頭雁飛行的速度，比高速公路的車子還快，這種鳥一天可以飛的距離將近4個台灣的長度，孩子們真的很震撼！

例如3：在一萬公尺的高空，大氣中氧的含量只有海平面1/4，斑頭雁的翅膀上分布更多的血管，讓有效的氧氣發揮高效能。

這段文字，讓孩子發現海拔指的是離海平面多高，而越往高處，空氣越稀薄，這裡指的是氧氣的含量，至於1/4更是讓人驚訝不已。

透過影片的討論與關鍵詞的摘錄，孩子對全世界最高的山脈有一個印象，接下來就是要讓他們透過寫作，組織這些資訊，學習表達。孩子們必須使用關鍵詞來造句，並完成一篇分享，用自己的理解來分享影片中所描述的情境。

一堂課，透過自然觀察，讓數字說話，從人文的立場對度、量、衡建立數學的感覺，並且透過寫作表達自己所學。第二天我在改分享的時候，看到孩子們文字大增(雖然有些孩子程度淺，寫出的句子難免模仿原文，但是這是一個過程，寫多了，就會自己脫口而出了)。最重要的，他們沒有廢話了，這是一種能力，在聽演講時需要具備的能力。我希望雅歌的孩子們在進入國中之前必須具備的能力！

與數學有緣--懷念恩師羅伯李             孫德珍

這幾天給藍貓頭鷹上數學史，講到金字塔，不禁想起恩師Dr. Robert E. Lee.

大三那年，我得到全額獎學金，進入西佛羅里達大學音樂系。學校要求通識教育的學分，兩門讓我印象最深刻的課是歷史和數學。

Dr. Lee是有名的金字塔專家，曾經是一所學院的院長，退休之後到UWF的數學系任教，他出身名門，長得英俊儒雅，喜歡彈鋼琴，對音樂系學生特別喜愛。

老師常常喜歡談音樂和數學的關係，有一次，他在黑板上寫一串數字，然後陷入沉思，同學們一直等他說話，告訴我們他在做什麼？我看完以後，發現他寫的是音階中各音的頻率，他想要讓我們發現其中有一個完美的比例關係。只是他有一個數字錯了，所以後面的數字比例就不同。他好容易才回過頭來看我們，想知道我們有沒有回應？看到沒有人舉手，他指定我說說看，這是什麼？我說：「看起來像是音階的頻率，只是因為有幾個數字怪怪的，我不確定。」他立刻檢查一下，發現錯誤，把數字修正過來，對我非常滿意。那堂課，有幾位同學很生氣，因為他們都看不懂那些數字在說什麼的時候，竟然有一個外國學生可以指正其中的錯誤，讓他們覺得自己很窘，而班上的同學都是榮獲獎學金的高材生。

老師一直希望我可以轉學到數學系，提供我研究所獎學金，但是我堅持不放棄音樂。所以他就為我個別開課，教我如何從生活中深入淺出探索數學。有一次，他不准我碰撞球，但是在腦中研究撞球的各種角度，他挑戰我不斷思考，這樣的訓練是我前所未有，我沒有成為一位數學家，但是學會思考，跳脫框框。

師母對我也很照顧，有時會讓我去打工，賺一些零錢。有一天，他們邀請我和一位華籍教授到家裡作客，我猛然發現他的曾曾祖就是南北戰爭的李將軍，非常驚訝，同行的唐教授與他握手，對他說：「非常榮幸可以和你握手。」我和他握手，告訴他：「今天我以你為榮，他日希望你也能以我為榮！」慈悲的老師告訴我：「我早就以你為榮啦！」

由於UWF的獎學金只有一年，我努力省錢，在一年內完成大三、大四兩年的課程，破了學校的紀錄。因為每天只睡四小時，老師在讚嘆我的學習效能外，更心疼我必須這樣艱苦奮鬥。

在我進入研究所後，我發現在美國讀大學為我打下做學問的基礎，而當年老師的帶領，在數學領域裡浸潤的一年，成為我日後極大的資產，每當我教導我的學生，源源不斷的創意，都來自於當日點點滴滴的啟發。後來，我才知道，很少人有我這樣的際遇，即使是數學系的研究生，也未必能得到一位大師這樣傾囊相授。

山湖分校的教改，我們有一位很棒的數學老師，有一套台大名師剛剛出爐的數學教材，但是使用後發現學生很怕數學，百思不得其解。多元智能教學必須解除麻痺化經驗，為此，我讓數學老師先不出現，以我這個最不像數學老師的人進入課堂，和孩子們用遊戲的方式玩數學，透過操作，讓他們先把問題解開，再問他們如何做的？再將孩子的數學思維列出來，化為算式。孩子們在沒有意識下上完數學課，被我讚美他們的數學能力，都非常吃驚。當我要求他們回顧，他們可以用自己的話說清楚，確認自己數學是很棒的，開始找回信心。這時，我把孩子交回給數學老師，他們不再害怕數學，並漸漸愛上數學。

雅歌第二位數學老師紫玉老師，也是非常讓孩子懷念的老師。他有很好的教育理念，也堅持要孩子學會思考。我記得孩子們常常壓力很大，家長也不放心，但我總是信心滿滿地要家長再給她一段時間，也給孩子一個機會。半年後，一年後，孩子終於被磨出來了，會思考了，不怕數學了。

有一年我從美國回台，把我所愛的一群樂團的孩子們找來陪他們練琴，閒聊中發現有些孩子上了國中對數學很頭痛，我思考要怎樣幫他們，最後決定為他們上一堂課：學習如何課前預習、課堂驗證、課後統整。

一位家長帶著孩子登上合歡山，在山上接到電話，要喬時間上我的課「如何學數學」，驚訝我一個音樂家憑什麼教數學？他們這些身為資深工程師的爸媽一個比一個優秀，怎需要找我教數學？但是下山後，因著給我面子，還是帶著孩子來聽課，並且在旁監聽到底。

那堂課，我以數學為例，教孩子如何學習，從課前如何預習？抓重點，整理架構，寫出一份講義，到課堂如何驗證？課後怎樣再加以修正、統整，把學習內化。孩子們真的同意如果這樣學，成績一定會很好，因為他們發現不論學什麼，用這種方法都沒有學不會的。

下課後，我問那位爸爸怎樣？他帶著不可思議的眼光，告訴我，他原來真的不相信我可以，但是聽完課後不得不佩服，一位音樂家居然可以把數學教成那樣平易近人，把學生教到不怕數學。之後，我沒有再教過數學，但是我開始喜歡教數學。

那一年，很多人看到我教數學，會很驚訝那流暢的創意，以及井然有序的架構，特別是當我面對害怕數學的孩子。雅歌的孩子不再怕數學，而且愛上數學，我曾做一個調查，居然所有孩子都覺得自己的數學是很棒的--而對台灣的教育，能做到這一點是多麼地可貴！

我喜歡帶著孩子探索數學，在生活中找數學，發現自然的奧祕，用數學語言精確地與自然對話，在孩子告訴我他會的時候，我最喜歡說：用幾何驗證給我看！很多人看我教小小孩透過數線來表達，來解題，總是驚訝國小到國中可以融在一起，那麼自然，各懂各的，雅歌以混齡教數學簡直是不可思議。

我教數學的時候，非常快樂。而這樣的教學，是上帝給我的禮物，是大師恩典的傳承。我深信，如果更多老師學會這樣的方式教孩子，我們的國中不再有孩子怕數學，放棄數學。當數學好了，其他科目也有方法學好；當學業不必放棄，自信回來了，學習的意願也會提升。

三十年了，當年不知老師為什麼這樣教我，現在才體會他傳給我的是無價之寶，回憶老師，在天之靈應該仍是以我為傲吧！然而，如今我能傳給誰呢？

最小公倍數—雅歌數學          孫德珍2012

黃貓頭鷹學過異分母的加減，今天我讓他們用正方型的分數卡解題，列出數學思維。
1/2 + 1/3=?。

孩子們很快地拿起2等分及3等分的透明卡，交叉之後得到2×3=6。他們在算式中填入新分母6，再用一張白紙遮住新圖：露出左半1/2，是新圖中左邊3格，露出上面 1/3，是新圖中上面2格，於是將3+2寫在分子的部分，再將算式解出：
1/2+1/3=(3+2)/6

連續做了幾題後，孩子們建立了步驟：

1.     找出相對應的等分卡 (1/2, 1/3)

2.     將兩卡交叉，算出共有多少格，成為新分母(2 × 3 = 6)

3.     在交叉後的卡上看出新分子，(1/2= 3/6, 1/3=2/6)

4.     在算式中列出新分子 (3+2=5)

5.     完成算式 1/2 +1/3=5/6

看著孩子們已經很熟練如何通分找出新分母，我很高興，其實當中二年級的孩子們還不知道通分是什麼？但是他們已經會操作，並且明白步驟中的意義，接下來，我讓孩子進入另外一個層次。

1/2 + 1/4=?

孩子們毫不猶豫地交叉出2×4=8，告訴我：新分母是8。我問孩子：如果不交叉，疊在一起會怎樣？孩子們欣喜地發現，可以重疊。他們在算式中填入新分母4，再用一張白紙遮住新圖：露出下半1/2，是新圖中左邊2格，露出上半 1/4，是新圖中右面1格，於是將2+1寫在分子的部分，再將算式解出如下：1/2 + 1/4 = (2+1)/4

孩子們開始想做更多可以疊在一起的，他們試了一試，發現2和4，3和6，5和10等可以疊在一起，3和9也可以，甚至發現只要是偶數都和2可 以疊在一起。這樣的發現讓孩子很開心，繼續做了不少題。我請孩子告訴我：能疊在一起的兩個數和之前交叉的兩個數有什麼特別的地方？孩子們想一想，告訴我：新的分母可以比較小。我問為什麼？他們不知道。我起他們觀察算式上的數字，他們突然發現：交叉的時候是把分母直接相乘，疊在一起的時候，是在兩個中找比較大的一個，但因為沒有相乘，所以倍數比較小。我問：這個倍數對兩個數都是倍數嗎？孩子說：對！我在白板上寫：公倍數。我再問：這個公倍數比起其他公倍數，有什麼特別的地方？他們說：比較小。我在白板寫：最小公倍數。請他們一起來看看：剛才找到的是不是最小的公倍數？

今天，我讓孩子透過兩片卡交叉發現公倍數，再透過重疊感覺公因數，但是，探索到此告一段落，公因數的出現，呼出最小公倍數，讓孩子在分數的通分中融會貫通而不需要許多講述。下課前，我再問孩子是不是都懂了，他們果然比較熟練，並且有信心了。芳瑜老師告訴我，他非常驚訝孩子可以透過操作學得那麼深，懂得那麼快！以前高年級時學最 大公因素、最小公倍數，花了很多時間都沒搞清楚，國中再學還是迷迷糊糊，雅歌的孩子這麼小就可以用這麼棒的方式學會，而且越學越通，越學對數學越有信心， 真的很難得！

黃貓頭鷹中，最年長的是振韋，他很虛心，因為基礎不好，願意先進入黃貓頭鷹徹 底打通任督二脈，讓數學可以流暢他的思考。每次看到他透過操作不疾不徐的解題，一步一腳印；甚至主動溫柔的教學弟妹，受到大家的愛戴，我總是很感動。年紀最小的亮羽，二下新轉來，剛開始上我的數學課有些迷惑，因為他在原來學校成績很好，他都會做，但不一定懂。來雅歌後，我不斷要求他們思考，很不適應，但透過操作，他學會建立數學思維，現在他會的都是他懂得，更重要的是，一旦懂了，就可以對高年級的教材輕鬆向上延伸，並發現數學之美。今天在車上，我讓二年級的兩位孩子講解最小公倍數給我聽，描述如何操作，每個步驟代表什麼意思？他們居然條理分明的陳述，讓我很開心。我相信，雅歌的數學已經在展翅上騰！

小記者培訓                        孫德珍2012

雅歌一直掙扎要不要有國中部？連經營國小都這樣困難，為什麼要再付那麼大的代價帶國中生？過去幾年，雅歌不收國中生，因為有幾位不考基測的孩子需要特別照顧，我們想要好好陪他們，正式國中部等小學部孩子長大再開始招生。

這學期，我看到可愛的藍貓頭鷹，真的已經準備要進入國中，我一再挑戰，他們一再超越，讓我很開心。因為我對研究課的要求，感到孩子在研究課練習找資料時，常常讀得不夠通，寫起來也不夠深入。這不是孩子的問題，是因為我們大人沒有提供一個對的環境，所以我準備推動一個實驗，把孩子的能力拉出來。我的目標是讓孩子看到，進入國中以前，他應該具備怎樣的能力，才不會很快就對國中課程感到無聊—許多孩子在國中的共鳴。

我們帶孩子們出去了幾趟行動學堂，身為小記者，必須要有採訪的能力，不只會問問題，能夠聽出重點，更重要的，要能簡潔記錄，呈現真實的面貌，並有所訴求。本學期的課程是發現發明與利用，每次遇到這個學期，我就讓自己進入科學領域，陪孩子學習。因為我的專業不是科學，所以我會更懂得孩子哪裡不容易懂，把那些地方潤滑，讓他們享受自然的奧祕，科學的理性，與數學的精確。

今天，我讓孩子們看一段影片：大氣層。我給了他們一張學習單，上面有問題，也有待選的關鍵詞。看完第一個影片，我讓他們討論，問題中該填入哪一個關鍵詞？他們幾乎很快地找到，越答越有信心，越寫越開心，而且漸漸能夠深入討論—這是我要的，帶領孩子透過對一個科學理論的探索去認識大千世界，激發他們對科學研究的熱忱。

最後，我要他們把寫完的學習單收起來，我又發了一張空白的，立刻進行考試，孩子們喜出望外，顯然覺得他們都可以考滿分，我也樂得如此—如果這樣會使他們愛上自然、愛上生物、愛上理化，愛上地理…我有什麼理由反對呢？

第二堂，藍貓頭鷹換成黃貓頭鷹，國中生繼續。第二個影片，我沒有學習單，我要求小記者上場(全部變成小記者)。我會在一句重要的陳述句子後停下來，讓孩子說出那句話重要的是什麼？我再寫出關鍵詞，孩子們慢慢發現會抓關鍵詞很重要，也漸漸能分辨哪些詞是關鍵詞？之後，當影片看完，我讓孩子以關鍵詞造句，並且符合影片的內容。剛開始，黃貓頭鷹有一些害怕，因為講到達爾文的物種演化，內容滿深的。有了皓宸哥哥帶頭拋出了句子，大家慢慢地學會先聽，抄下筆記，我再稍加釐清，他們就上了軌道。我問：真的聽得懂嗎？他們就勇敢舉手。

兩堂課上下來，孩子們反應非常好，我相信，雅歌的孩子在這種教育之下，應該沒有學不會的，應該是喜愛上學的。幾個五年級的孩子，等著要上國中(雅歌的國中從六年級開始)。今年的招生，預計六年級、七年級總共十個名額。雅歌要啟動國中了！有興趣雅歌教育的孩子趕快報名哦！
雅歌人人學音樂，新進國中生有音樂基礎是一個條件；雅歌很多國中課程中英對照，所以不怕英文很重要；雅歌的數學很生活化，孩子們喜歡數學課，學得很起勁；雅歌是多元智能的學校，課程活潑但是學習深入，每個人都能做研究，重視操作也重視思考。體能、藝術、音樂是生活的一部分，雅歌的孩子很快樂，卻學得很好哦！

1.大氣層是所有_____生存必備條件，也是由______創造的。
2.大氣層是大自然中最_________、最_________的力量。
3.現今的大氣層花_____年才被創造出來，這段時間，生物和大氣層建立了相互依存的關係，當我們威脅了這種_______和_______的平衡，就將命運交給大氣層。
4._______是世界上第一種刻意改變大自然的物種。
5.由相同方向吹來的強風，日積月累後便會刻鑿出巨大的山脊，稱之為_______，在______、_______可以看到。
6.風不只是形塑_______，還可以給大地帶來__________。
7.沙塵暴是富含_____及_________的塵土，從___________沙漠被吹到_______海底或________雨林，每年____萬噸鹽和礦物質，成為雨林的營養來源。
8.日常生活中我們可藉__________感受空氣中氣體的流動。
9.人為的干擾大量破害了自然循環的機制造成__________。

黃金比例—雅歌數學            孫德珍2012        

今天再次帶著藍、黑貓頭鷹探索黃金比例。
黃金比例雖然是高中程度的數學，但是因為我用探索的方式讓孩子在自然界驗證，一關關驗證之後，高年級的孩子們已經可以理解，並且開始對數學的精確，與自然的深奧神往。我告訴孩子：數學是一種語言，讓我們與自然做精確的對話。所以當孩子在許多自然物間發現共有存在的比例關係，驚嘆這一定是被造的，不是隨機選擇偶然的。科學是什麼？就是要能被複製，得到一樣的結果。自然則是奧秘，需要一層層被揭開，所以充滿著發現。黃金比例的探索，不只是讓孩子了解數學的精確，也透过不斷驗證，建立科學思維，而最棒的，是一次次探索，進入自然的奧祕。
今天，看著他們認真的做筆記，每次詢問都能理解，我看到孩子們臉上的感動，我也好感動，數學、自然科學在雅歌是被孩子喜愛的。好棒！
今年國中開始邁入十二年國教，雅歌的孩子將是帶著學習的渴望進入國中，雅歌孩子愛音樂、愛藝術、愛體能，愛語文，現在，他們也可以愛數學，愛自然，愛英文了。
今天，與雅竹討論研究，我們在一顆松果中驗證Fibonacci數列，兩人不覺相視一笑，許多高中生，大學生的報告都只是點到為止，我們卻在一層層的發現中愛上數學，感嘆自然創造之神奇！我愛雅歌的孩子！

Patty Huang

跟著孩子上數學課--黃金比例，其理論真的好難理解，也真的很佩服老師的功力。看了影片，才知道人、昆蟲、花草、（螺旋）生物、（螺旋）自然現象，都存在著黃金比例。

那到底是誰創造黃金比例呢？造物者吧！所有自然界都有其生長的定律，且都獨一無二，真的很奧秘。讓我感到興趣的是人體的眼、耳、鼻、舌、口、牙齒、身，只要符合黃金比例，就是美。目前我可以測量的地方，還找不到任何一處符合黃金比例，所以說我連美的邊還沾不上呢。如果我依據黃金比例來化妝，相信會有不一樣的美感出現。

另外我今天終於了解，為何向日葵符合黃金比例，因為它的花瓣數〝34〞符合費波納契數列﹙0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…﹚，所以說不要想的太複雜，只要符合費波納契數列的數，大致上就符合黃金比例。
在上課途中，觀察路上的小花，發現花的花瓣很多符合數列中的〝5〞，〝8〞。晚上有空拿起雅雅帶回的松果，數數其螺旋數〝13〞，Yes！原來生活可以因為黃金比例而變得這麼有趣。

分數之旅—雅歌數學       孫德珍2012

黃貓頭鷹正在學分數，我讓他們玩過分數派(圓派)、分數卡(正方形)，並用過撲克牌將不同數字當分母湊成整數一。今天黃貓頭鷹學習不同分母的加減，我讓他們用分數卡操作，學習通分並作加減。

1/3 + 1/4 = ？
孩子們將透明的分數卡 3等分與 4等分交叉，得到 3 x 4 的格子，數出新的分母12格，列出分母是 12；

接著遮住卡，留出 1/3，看出新的分子是4格；再遮住卡，留出1/4，看出新的分子是3格，將4 + 3 列在分子上；1/3 + 1/4 = 4+3 / 12 = 7/12
孩子們剛開始有一點混亂，但是我堅持用操作的方式建立步驟，他們慢慢地一步步做出來，後來就一再要求新題目，並且熟練地完成。我沒有教他們為什麼要這樣做，只讓他們自己發現，透過幾次練習，他們理解了什麼是分母，什麼是分子，一般教學是先學同分母的加減，再學通分，以進行不同分母的加減。我反而利用不同分母的加減讓他們自動通分，自然地發現其中的必要步驟。

二年級的孩子剛開始有點陌生，三四年級比較快進入狀況，然而一堂課下來，大家都熟悉了，也能快樂地解題了。

紅貓頭鷹學過幾個一數，我讓他們打節奏(拍手默念，再把倍數念出)：

P2, P4, P6, P8…,PP3, PP6, PP9, PP12, PP15…

也許總是從黃貓頭鷹的課瞄到一些活動，他們也不知不覺學到小哥哥姊姊的東西。今天我讓孩子們用分數卡玩旅館訂房間的遊戲：我在白板上放了幾張分數卡，列出單人房、雙人房、三人房、四人房、五人房。我讓孩子上來放棋子，他們看出雙人房有一個人住就是1/2，三人房有一個人住就是1/3，很快就以此類推，會排出棋子，並在草稿紙上寫出分數。

這時候，小丁丁靜不下來，開始丟棋子，我請博楨老師帶他去上體能動一動，等他平靜再回來。大約5分鐘後，他回來上課。我讓孩子數更多等分的分數，1/6, 1/7, 1/8, 1/9, 1/10…有孩子很快就完成了，要求更大的數字。

我讓孩子拿起兩張分數卡交叉，讓他們透過2X3, 2X5 等看出有多少格？孩子們非常興奮(這一班常是在興奮狀態)，數的不亦樂乎，甚至自己拿更大的分數卡。小丁丁不落人後，他拿起一張8等分，一張10等分，交叉後算一算，有8有10，就開始8, 16, 24, 32, 40，我正在驚訝他怎麼已經會乘法，那麼流暢？突然聽他說：「另外還有一半，那就是40 + 40是80。」我被眼前的情景震撼住了，我一直知道他非常聰明，反應奇快無比，但是常讓老師頭痛不能進入學習狀況的他，只要一進入，就是讓人驚嘆！

我知道他沒有事先學過，他是耳聞就會，過目不忘，他很適應我的教學方式，真的是一眼看穿。接下來的半堂課，他很認真的把桌上的教具玩完了，在我驚嘆中，他開心的下課了。這學期，他有很大的改變，雖然還是調皮、闖禍，但是他快樂多了。我很感謝雅歌有一些孩子對他特別包容、接納，帶給他歸屬感；感謝博楨老師經常及時援助，帶他活動，紓解壓力；更感謝念潔老師耐心地陪伴幾個小小孩，讓他們脫胎換骨。這個大家庭，將會傳下許多美麗的故事。

勾股弦定理--藍貓頭鷹數學課             孫德珍2012

柏宇研究圓周率，大夥兒一起學「勾股弦定理」。這個理論最早出自「周髀算經」，記載周公與商高論述勾股定理的內容，比希臘的畢達哥拉斯早了近千年證明了勾股定理，三國時代趙爽不僅正確理解了商高答問原文，並創作了「句股圓方圖說」。
我在白板放了百宮格，用線條拉出四個勾3，股4，弦5的直角三角形。上一堂課大家已經發現，勾平方與股平方的和等於弦平方，今天請他們用幾何驗證。今天的課國中生不在，藍貓頭鷹卻慢慢地觀察、推論，從趙爽的圖中看出端倪。我請他們列出式子，一一驗證，他們很投入，每個人都驗證了。

我相信，等他們兩年後進入國中，一定不會害怕數學。而柏宇今天的研究，也將會在生命中對數學留下一個美麗的明朗化經驗。

進位--紅貓頭鷹數學課           孫德珍   2012

今天讓紅貓頭鷹學進位。我在桌上擺了代表1,10,100,1000的教具，每次從其中拿出數個某一項，讓孩子在個、十、百、千的定位板上將數字列出。由於常用教具操作，孩子很快就熟悉的列出，甚至列成加法算式也不難。
孩子雖然認真在操作，努力在完成，但是我可以感受到有些人心情浮躁，因此會與別人衝突，所以決定帶他們到大鋼琴旁，玩人體定位板。每人踩住一條黑色線段的起點和終點，依順序代表個、十、百、千。孩子輪流出來當鬼，指定個十百千的方向，如果千位面向鬼的右邊，所有人要轉身，鬼要跑到對面，永遠保持個位在鬼的最右邊，和列算式一樣。
孩子們玩了一陣子，透過人體定位板熟悉進位，身體動了動，心情開朗了，數學學會了。

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用幾何驗證—藍黑貓頭鷹數學課     孫德珍4/20/2012

這幾次數學課，孩子們在學習用幾何驗證。上次驗證畢氏定理，大家覺得好有趣，今天讓國中部加入，一起來實驗。我要讓孩子把一個正方型變成圓形，我允許他們用工具。我問他們：正方形旋轉後會變成什麼？大家猜來猜去，非常熱烈。

我讓孩子們用一張裁好的正方形，找出中心點，孩子們立刻對折又對折，找到中心點。我讓他們在中心點打洞，用一枝鉛筆支柱，轉動正方形，劃出輪廓以後得到--圓形？我問孩子：為什麼轉動正方形會得到圓形？證明給我看。孩子於是釐清：圓心到圓周一樣長，所以是圓形。我再給孩子們更多正方型，請他們裁出一張正三角形。孩子們用各種方式要畫出一個正三角形。我問：用幾何驗證是什麼意思？他們說：變成看得見，就是一眼看穿。對！這就是雅歌數學講一眼看穿的原因。

終於有人用三張正方形疊在一起，底下那張當三角形的底，上面兩張當兩側邊，因為是一樣大小，證明三個邊等長。孩子們把三角型剪下來，我問：轉動正方形變成圓形，轉動三角形會變成什麼型？大家做完，發現三角形也會變成圓形。
我再問：如果讓這片三角形站在桌面上旋轉，會變成什麼形體？孩子們試了一下，發現了三角錐，圓型在底部，三角形在垂直面。
我拿一個圓柱體，用鉛筆指著，問孩子：如果我轉動圓柱體，會在上面畫出什麼線？他們發現是直線。我再拿三角錐試，他們發現會出現螺型。結論是：螺絲或是彈簧就是從原心往外畫圓。
今天的課孩子們覺得很稀奇，對圓的定義更清楚，幾何是很重要的數學思維工具，我希望他們發現用幾何驗證是一種有趣的訓練。

用數線解題—黃貓頭鷹數學課 芳瑜4/11/2012

之前課程上，介紹過數線基本的概念。今天，貓頭鷹媽媽要看孩子能不能用數線來解題？她說：只要學會用數線解題，數線畫出來，一眼就可以看穿數學思維，列出算式，並且可以透過視覺畫面驗證，再也不需要害怕應用問題。

油桐花繖挑戰孩子保持好心情。一上課，貓頭鷹媽媽檢查孩子有沒有帶好心情來上課，上課中也不斷檢視好心情，孩子們學習不受別人影響，不會分心。

貓頭鷹媽媽在白板上列出數線的四個元素，讓孩子可以檢視重點。

1.圓點(0放在哪裡?)

2.方向(箭頭，數字往哪裡增加？)

3.單位(每個單位是多少，讓線段可以有數量)

4.線段(起點和終點在哪裡？)

課堂上，貓頭鷹媽媽出了幾道題目讓我們牛刀小試一番。
(1) 振韋做IXL數學，第一週4小時，第二週3小時，第三週2小時，他一共做了幾小時？ 4+3+2=?

老師要求列算式的時候，在視覺上與數線相合。4+3+2列在上半部，以眉毛代表，=?列在下一行，以微笑的嘴巴代表，這是老師要求孩子建立的習慣。小朋友學習用數線來呈現數學思維，從孩子的實作上看出他們可以融會貫通。

(2) 欣儒做了3小時，他連續兩週都一樣，他一共做了幾小時？3x2=?

這一題，有孩子立刻畫了3+2，貓頭鷹媽媽透過實作，檢視出孩子對乘法的數學思維有問題，經過再一次講解，接下來的題目他們就得心應手，迎刃而解啦!。即使出加法與乘法的綜合題，也都難不倒他們嚕。這堂課結束之後，我們對於數線的應用又有了更新一層的認知記憶。用數線解題，我們挑戰成功!

優優雅雅尋數學—黃貓頭鷹數學課    芳瑜3/23/2012

黃貓頭鷹們排好整齊的隊伍，讓貓頭鷹媽媽看見他們的「優雅」。貓頭鷹媽媽說：「優雅從好心情開始。」她檢查每個人是否帶著好心情出門？

今天天氣溫和，我們走出戶外尋找數學在哪裡？到了大廳門口，貓頭鷹媽媽讓黃貓頭鷹們選擇向左走還是向右走?第一位領袖選擇：turn right！走到交叉路口，貓頭鷹媽媽問：看看你的四周，有什麼東西和數學有關呢？大家東看西看，還自轉一圈。大家發現了：路標的「箭頭」，房子的「圓柱」，外牆上的「矩形」切面，柱子有圓周…。

大家再往前走，有黃貓頭鷹發現有「三角形」，大家紛紛靠過去，貓頭鷹媽媽請大家驗證一下，三角形的邊都要接在一起，這個三角形有嗎？驗證之後，發現這個不是完全的三角形。

又有小黃貓頭鷹看到六角形，哪裡有六角形呢？原來是電燈上的螺帽，真的觀察的很仔細，大家驗證看看是不是真的有六個邊呢？大家把六角形的螺帽都數了一遍，這次正確無誤。

大夥往前走，到了涼亭。貓頭鷹媽媽說：「大家能不能一眼看穿樓梯上的柱子有幾根呢？」好多數字脫口而出，貓頭鷹媽媽請黃貓頭鷹們一一去驗證，看看誰的數字是正確的，黃貓頭鷹們把整個樓梯都數了一遍呢。大家還觀察了花瓣有幾瓣，因為黃金比例也存在大自然中。

突然間有人抬頭看見有老鷹，貓頭鷹媽媽問：數學在哪裡？有人說速度，有人釐清是速率。貓頭鷹媽媽問：「老鷹飛翔的方向是順時鐘還是逆時鐘呢？」大家觀察了一會兒之後，貓頭鷹媽媽舉起一枝筆，在空中順時鐘轉圈，問大家是順時鐘還是逆時鐘？孩子們經過一下子確認是順時鐘。貓頭鷹媽媽的筆繼續轉，漸漸向下，再要大家看一下，突然大家發現不對勁，已經變成逆時鐘了。貓頭鷹媽媽解釋：「筆轉的方向是一樣的，但是從上面鳥瞰和從下面仰望卻是相反的。就像你在玻璃的兩邊看字是相反的一樣。」

貓頭鷹媽媽再讓孩子描述前方的三棵樹木，用數學語言來說明：有哪些是一樣，哪些是不一樣的？大家踴躍的舉手搶答。「它們都是樹，都有樹根，都有樹幹，都有樹葉，都是綠色的。」然而：樹的高度不一樣，樹的茂密程度不同，樹的形狀不同，樹的樹幹程度粗細不一。孩子們發現了好多好多唷！

貓頭鷹媽媽請黃貓頭鷹們評估：從涼亭到樹的距離有多少公尺？大家猜了一陣，貓頭鷹媽媽說：「最近學黃金比例，你的身高和兩臂伸開長度大約相等，請大家把手張開，變成一把人尺，一個一個接起來，測量一下距離。」大家搭起了這把特別的尺，再一一計算自己的身高，量出了這段距離，並且驗證了誰的估算最接近。

最後，大家排好路隊回到大廳內，孩子們發現地上有一個圓。貓頭鷹媽媽問：「你怎麼確定它是個圓呢？」孩子說：「因為有圓心。」貓頭鷹媽媽問：「可以證明圓心到圓周距離相等嗎？」一個孩子當圓心，另一位拉他的手繞著轉，好似圓規畫圓一樣，證明是相等的。貓頭鷹媽媽笑了！

要下課了，貓頭鷹媽媽問：「到現在還帶著好心情的舉手！」大家都熱烈舉手。今天這堂課，大家都學到了很多知識，原來我們日常生活中所見到的一切事物，都和數學息息相關。從今天的數學課，我們也學到一個品格：許多事情從不同角度去看就會有不同的結論。還有一件很重要的事情，無論做任何事情，都要保持著好心情喔！

今天的你有好心情嗎？讓我們帶著好心情期待下一堂課的到來唷！

黃金比例--藍貓頭鷹數學課       Patty 3/16/2012

這幾天貓頭鷹媽媽在油桐花繖出了一些有關黃金比例的題目，要孩子觀察，今天她請孩子畫五角星。

孩子們探索著怎樣畫五角星，貓頭鷹媽媽示範用三條數線貼在白板上，讓孩子用直尺畫出底2cm邊3cm的等腰三角形，接著就利用著三角形的邊延伸畫出星形。孩子們要有專注及耐心的品格，才能把星星完整的呈現出來。我自己也靜下來畫畫看，不容易喔！

孩子們觀察到

最長的線段(紅色部分)     AC=BE-AD=CE=DB （8cm）

第二長的線段(綠色部分)   AJ=AH=BI=BG=EI=EF （5cm）

第三長的線段(藍色部分)   AF=AG=BF=BJ=CJ=CI=DI=DH=EH=EG （3cm）

第四長的線段(紫色部分)   FG=FJ=JI=JH=GH （2cm）

這當中貓頭鷹媽媽引導孩子發現Fabonacci數列，她讓孩子計算其中的比例，除了前面兩次的比不太夠，其他的比例都是接近1.6...

8/5=5/3=3/2 (約略)

黃金比例條件

1. 第1項數+第2項數=第3項數

 第2項數+第3項數=第4項數

    第n-1項數+第n項數=第n+1項數

2. 第n+1項數/第n項數=1.61803….

貓頭鷹媽媽之前為孩子播放唐老鴨的數學魔園，其中講到音階中的音律出現順序，也是黃金比例的應用， Do Mi Sol Do 是這樣出現的

孩子經過這一些探索，對於黃金比例有深刻的印象，並且在製圖過程中，發現不精確之處，再加以修正，對於2/3/5/8的Fibonacci數列也更有感覺。

分數--紅組數學      Patty  3/5/2012

老師一開始請孩子輪流將黑白磁鐵放在方格紙或分數卡上，再讓孩子們驗算其黑、白棋的數量是否相同，若數量相同，就是「平分」了。多次操作演練下，孩子們一眼看出若有二行的格式，就知道可以平分了。

接著老師要讓孩子們走出教室到空間較大的多功能教室，老師溫柔地告訴孩子她想要安靜無聲的行動，用調皮逗趣地方式，想要孩子出聲，但孩子嘗試幾次後，知道一出聲就出不了門，最後孩子挑戰成功。

一進了門老師馬上隨機發給孩子們各一條或二條方格紙，且告訴孩子她的要求，孩子們的要求，將雪花片放到方格紙上。接著老師帶著孩子們一一驗證每人的雪花片是否可平分。婕婕一看到二條方格紙，就直接說可以平分。老師就問她為什麼？婕婕回答說，每人各一條，且雪花片都對齊。

再來就更難喔！老師仍隨機分配給孩子幾條方格紙，告訴孩子們找出它們的最大正方形。孩子們不斷地嘗試，後來老師給了提示：水平與垂直都要一樣！孩子就陸續完成了。老師不是這樣而已，還要孩子們回答面積是多少？有的孩子一個一個數雪花片，有的孩子用加法，有的孩子用乘法，都答對了。孩子們的雪花片正方型都獨一無二。

九九乘法大合唱    孫德珍2012

之前教孩子九九乘法，告訴孩子們：台灣背99乘法，美國背1212乘法，印度背2020乘法。孩子決定以2020為目標，所以我規定：要成為黃貓頭鷹必須具備99乘法，藍黑貓頭鷹必須具備2020乘法的能力。
雅歌的孩子學乘法時，以念謠的方式，一位當被乘數(拍掌)，一位當乘數(雙手比X號)，一位當乘積(雙手比出等號)，按著節奏唸出來。通常低年級會當被乘數，重複念一個數字，之後可以同時當被乘數與乘數，當乘積的人有時間慢慢把數字加上來，建立肢體的記憶，等到熟練了，一個人獨唱就可以了。
這幾天黃貓頭鷹很認真的在挑戰九九乘法，而藍貓頭鷹也不是省油的燈，雖然是那麼長一串，他們耐著性子一個一個完成，讓我很感動。
有些孩子選擇默寫，因為寫出來幫他們視覺化；有些孩子是可以不透過視覺化直接背出，家蓁就是這樣的孩子；有些人覺得很長很難，我建議他們用一些方法，證明他們其實是可以的。
定軒第一個跨級通過2020，藍貓頭鷹都不想讓學弟專美於前，我讓他們在白板上用磁鐵線畫出個十百位，請他們寫對齊，個位對個位，十位對十位，一邊背一邊想，11就是加10加1，所以十位個位每次加1；17就是加20減3，十位加2，個位減3，以此類推，孩子開始想要學會這樣的方式，而不是機械化的背誦，他們努力一一完成，似乎沒那麼難了。平日浮躁的孩子突然靜下來了，他們要完成，而且很多人都想一口氣完成，連下課都賴著不走要做完。
幾位大哥哥揮筆如有神助，其他藍貓頭鷹也非常認真要完成，雅竹昨天差點完成，今天把剩下的幾個數完成，看她那麼有興趣，我知道她又學到新東西了。
振韋、子齊都出奇的專注，不需要人提醒，真是該發個獎。
可能是因為全校都在做這件事，孩子們受到感染，也自然地投入，而很快地就在一週內都完成，還有人挑戰跨級，淳縈不把自己當小一，也要背；育筠是第一個黃貓頭鷹完成挑戰的，等別人完成的同時，她乾脆繼續往上挑戰2020；紹鎧想挑戰電腦IXL數學，因為座無虛席，我問他要不要試試2020？他試了一下，居然一口氣寫到天黑，完成了2020挑戰。明天，藍貓頭鷹也會完成挑戰。開學典禮真該為此慶賀一下！我們的孩子好主動，好棒！

紅貓頭鷹靜靜聽—雅歌數學         靜芳 2012

今天貓頭鷹媽媽帶紅組數學課的孩子走出教室上課，遊戲中教數學。接著請孩子們坐在紅沙發上，小丁丁和甲甲很好動，坐上了沙發就倒著、趴著，腳捲著。貓頭鷹媽媽一貫的優雅，一貫的不動聲色說：「我允許你們全部把腳捲起來！」一群孩子好開心脫鞋，捲著腳，聽貓頭鷹媽媽說故事。當下，我好感動！

我們常要求無法做到的孩子去做大人眼中認為對的事，而貓頭鷹媽媽卻要那些可以做的很好的孩子去配合那些困 難的孩子。因著這樣，大人孩子間沒有衝突，孩子間彼此接納，一堂課沒有枝節，全是重點。我今天上了重要的一課。

貓頭鷹媽媽的話：

紅貓頭鷹很喜歡數學課，但是這天他們太興奮，我決定要讓他們走出教室。孩子們剛剛學了從1數到100，我們也學過水平數線往左往右，垂直數線往上往下，今天就實地體驗。

我說：「你們太興奮了，必須到外面安靜一下再進來。」孩子們果然到門口排隊，安靜下來。我說：「我們走走好不好？」他們說：「好！」我讓他們走出教室，要求用最小聲的腳步走走看，他們開始抬起腳，控制腳步聲。走到梯階處，我讓他們練習往上、往下，他們想像不同的動物怎樣上下，最後，我挑戰完全沒有聲音的蛇怎麼爬下去，孩子非常、非常安靜的控制自己的身體滑下去，好可愛！

我們在大廳的地磚上找線段，以前幼兒部孩子很喜歡躺在這幾條黑線上演小蜘蛛。我要求他們踩住線段的起點和終點，開始玩大風吹，被吹到的人就要換位置，立刻又踩住線的起點和終點。之前他們在白板上畫數線的起點、終點，標出線段做加減，現在他們用身體在地上畫數線，很快就進入情況。我挑戰他們支撐數到100，我以手勢代表音量開多大，等他們數完，所有人都很能控制自己。

後來，我讓他們坐在紅沙發，進行最高難度挑戰。我問他們可以多久不出聲音，不會被我引誘而分心？我開始講故事，並且試探讓他們插嘴，但是沒有人插嘴。我挑戰他們坐直，挑戰他們想像那是房間、那是教室、那是桌子、那是不同地方，他們都可以立刻應變，但是都不會插嘴。

最後，我讓他們聽一個完整的故事，我的故事有很多小魚大魚，這些魚引誘他們動來動去，但是他們就是不動，直到我把故事講完。我的故事裡面有方向，有數字，他們可以用身體語言來回答我，就是不能有聲音，結果他們的表情很生動，但是就是不出聲音。

這幾天小丁丁進步很多，他非常希望能來雅歌上學，很努力控制自己，我問孩子們有沒有發現他進步了？孩子們都給他大大的鼓勵，他也很開心。

黃貓頭鷹分數國—雅歌數學   芳瑜  2012/03/02

今天的數學課老師給大家一片片分數派，讓我們到英國，用英磅了解當地的風俗民情。

在國度裡，每戶人家都有他們基本的一份資產：一個圓。據說，最近大家工作表現都很不錯，女王為了感謝各位的辛勞，每一陣子會讓每一戶都可以領到一份紅利1/3英磅。哇！女王真會替我們著想，大家好開心啊！過了幾個月之後，國家有些建設需要，皇室呼籲民眾繳稅1/5英鎊，大家都很踴躍的前往繳稅。但是，剛好沒有1/5英鎊，該怎麼做才不會多繳稅或者是少繳稅呢？

大家很不捨得把一個圓拿出來找開，居民們開始想方法，不能找零，那可以交換吧！只是到底要怎麼換？慢慢地，大家發現把圓找開後，還是有機會與另外的分數拚成一個圓，在稅務人員適時的提醒下，總算完成這次的納稅動作。

繳完了稅，女王又發了一些福利金，大家努力存錢，並努力拚成圓，只是拚起來好像怪怪的，不太圓。看一看別人的，怎樣拚比較好？原來，並不是把分數派加起來就會變一個圓，而是要把同分母擺一起，加到分子的和等於分母的值就拼成一個圓了。

雖然知道怎樣把同分母拼成一個圓，現實卻是殘酷的，因為沒有人有那麼多同分母的分數。試著把不同的分母拚拚看，發現有些可以取代，兩個1/4居然是一個1/2，3個1/9居然是一個1/3，再找找看，還有哪些可能？國家放出了公債，大家可以認購，把自己的閒錢拿去換一張公債回來，拚拚看，圓了，有居民高呼：「完滿！」也有人冷靜的說：「成全！」

習慣了一分為二，二分為四，四分為八，對於長大的我們都已經耳熟能詳，但對於剛接觸分數的孩童們，真的不知道那是什麼樣的感覺。這堂課，老師讓孩子玩圓形分數派，每位孩童都可以大概知道幾分之幾的圖形是什麼樣子，藉由自己的探索，自己的發現，老師適時的提醒之下，拼拼湊湊，完成了分數的任務。

接著，老師再利用正方形分數卡讓孩童們一眼看穿，加深她們對分數的觀念。老師用透明的分數卡(1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8,1/9,1/10)讓孩子選蛋糕，哪一盒是可以兩人平分的？孩子們一眼就可以告訴老師哪一個可以，哪一個不行--偶數就可以。不行平分的蛋糕如果橫切一刀會怎樣？大家發現，剛才不行的那些分數，只要往橫的一切，都可以平均分配給兩人。
老師說了一個故事：山上有間廟，廟裡住了幾個和尚，每天煮一鍋粥。慢慢地，人數增加了，從三個變五個，變七個，變八個…還是這鍋粥。孩子們相信：和尚越多，每個人分到的就更少。今天學到的品格：僧多粥少。

好大的撲克牌—雅歌數學           孫德珍2012

藍貓頭鷹的數學課，我給他們看一副好大的撲克牌，孩子立刻說：有一般撲克牌的4倍大。看他們都那麼想摸這副牌，我就讓他們玩大數字。我要孩子養成一個習慣，不要一看到算式就一頭栽進去計算，先想一想這個算式有什麼架構，我給他們定位板，但問他們可不可以只用橫式？大家都不相信這麼大的數字可以不用直式就可以推算出來。

我一面發牌，一面要他們把可以乘出10的數字找出來，再把JQK都當10用，剩下沒用到的牌用加法，把所有的10都乘進去，列出一個算式。

[(3+7)+(4+6)+(1+9)+6+3+1+8]x(2x5)x(2x5)x10x10x10x10x10x10

=[10+10+10+18]x10²x10⁶

=48x10²⁺⁶

=48x10⁸

=4800000000

透過之前正方形面積的經驗，孩子們很快地發現同一個數字自己乘幾次就在數字上寫一個指數，而乘以幾次10，就在原數字後面加幾個0。

我讓大家一起檢視每個人的牌，孩子很快就進入狀況，很願意被挑戰。

第二次，我改變JQK代表的數字，讓J=5, Q=5x5, K=5x5x5。

我問孩子：怎樣才會乘出10,100,1000?

孩子們拼拼湊湊，發現J與2配， 5x2=10； Q與4配， 5x5x4=100，

K與8配， 5x5x5x8=1000。

[(3+7)+(9+1)+(7+3)+9+9]x(5x2)x(5x2)x(5x2)x(25x4)x(25x4)x(125x8)x(125x8)x25

=(10+10+10+18)x10x10x10x100x100x1000x1000x25

=48x10¹³x25

=12x4x25x10¹³

=12x10²x10¹³

=12x10²⁺¹³

=12000000000000000

透過一次次摸索與觀察，孩子們很自然地除了2x5，25x4也很重要，而125x8更是讓他們驚喜，所以當有一堆數字要計算時，他們會先把可以變成十、百、千的可能挑出來乘，並且在加減時把10的分與合找出來，剩下的需要處理的牌就輕鬆了。在這個遊戲中，孩子們渴望越多牌越好，而在計算時都很數學，享受發現的樂趣，以及解答的成就感！

孩子們發現數字很大時開始主動的分析幾個零是億、兆、京。然後驚嘆：好大的數字呀！

好大的撲克牌，謝謝它讓我的藍貓頭鷹們再次神往MathMagic Land數學魔園。

黃貓頭鷹玩單位—雅歌數學        芳瑜2012/2/29

鐘聲一響，大家很快速的就定位，期待著今天老師要給大家什麼樣的任務挑戰!!

老師從櫃子裡拿出了好多東西，有串珠的正方體1000，串珠百宮格100，還有串珠數線10，還有串珠數線3，以及零星的珠珠。

老師要徒弟們計算共有多少，徒弟們分成兩組，決定一組分一半來數，老師就讓他們先平分成兩堆。徒弟們先從正方體1000分起，你一個呀我一個，分到了最後，哎呀！只剩一個怎麼辦？

小徒弟很快的就想到可以做轉換，十個100代表一個1000，於是其中的一組就拿了十個100來代替1000，之後又繼續的往下分，把100，10都分完了，有時候，徒弟們覺得一次一份太慢，就會一次拿兩個，另一組也跟著拿兩個…。

分完了，老師請小徒弟們開始算每一種單位有多少？並把答案寫到到白板上，老師在白板上排了定位板：千百十個。孩子們派代表上去寫，突然發現兩組的答案是不同的。可是沒有辦法知道是什麼時候錯的？錯在哪裡？老師要下面的人很仔細的檢查有沒有對齊，孩子又上來把數字寫對齊，重新算過，雖然無法知道是怎麼錯的，但現在開始每一步都可以看出哪裡出問題，因為放上定位板再計算，所有步驟一眼看穿，就方便檢視了。

之後，老師讓孩子在百宮格內放一個美金1分，英文是cent，用數學語言￠翻譯為百分之一元，寫成0.01元，老師請孩子逐一翻譯：

0.01,0.02,0.03,…唸到第十個要換行了，老師要大家舉手再喊。十行都翻譯完了，老師要大家在剛才舉手的地方放一個美金一角，英文是dime，用數學語言10￠翻譯為十分之一元，寫成0.1元。老師讓孩子在百宮格學習單中填入空白的部分，孩子用0.01為單位，填滿一百個，用美金的概念，從原本的整數進入到了小數的觀念。